切比雪夫譜方法（Chebyshev spectral method）
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傅立葉譜方法精度極佳，卻有一個頑固的要求：問題必須週期，使解能無縫環繞。大多數真實問題活在有邊界的普通區間上——一根兩端固定溫度的受熱桿、一條通道中的流動——根本不週期。切比雪夫譜方法是其非週期的對應版本：它在有限區間上提供相同的譜（指數）精度，用切比雪夫多項式取代正弦與餘弦。
此方法把解表示成切比雪夫多項式 T_0、T_1、T_2、... 之和——這些多項式在區間 [-1, 1] 上表現得像偽裝的餘弦（事實上 T_n(cos theta) = cos(n*theta)）。關鍵的設計選擇是「在何處」取樣：不在等間隔點上（那會觸發龍格現象、毀掉一切），而在切比雪夫點 x_j = cos(pi*j/N) 上，它們在兩端附近密集聚集、在中間稀疏。這種聚集正是馴服高次插值狂野邊緣振盪的關鍵。由於與餘弦的關聯，樣本值與切比雪夫係數之間的轉換本身就是一個離散餘弦轉換，所以能用 FFT 以 O(N log N) 計算。微分透過該轉換完成，或用一個把格上值映到導數值的稠密切比雪夫微分矩陣完成。
切比雪夫譜方法是簡單區間上平滑非週期問題的標準工具：邊值問題、通道流穩定性，以及許多工程 PDE。它承襲所有譜方法相同的誠實提醒——要達到指數精度需要平滑解，且適合簡單幾何。它另帶兩個皺褶：微分矩陣隨 N 增大而越來越病態（一階導數的條件數像 N^2 上升、二階像 N^4），所以極高解析度需要小心；而點在邊界附近擁擠，對時間相依問題會逼出一個小得令人不適的穩定時間步，除非你使用隱式格式。
在 [-1, 1] 上解邊值問題 u'' = f(x)，其中 u(-1) = u(1) = 0。在切比雪夫點上取樣，建立切比雪夫二階微分矩陣，施加邊界值，再解所得的線性系統。對平滑的 f，僅 20 或 30 個點就能達到近機器精度——有限差分格式則需要數千個。
切比雪夫點在邊緣聚集，無需週期性即可給出譜精度。
等間隔點會招來龍格現象而失敗；邊緣聚集的切比雪夫點不可或缺。也要注意切比雪夫微分矩陣會變病態（像 N^2、N^4），而聚集的點逼出極小的顯式時間步。