上下文無關語言與正規語言的交集（intersection with a regular language）

兩個 CFL 取交集可能衝出家族，因為那要一個堆疊做兩件事。但把一個上下文無關語言和一個「正規」語言混在一起，故事就又友善了：交集 L ∩ R，其中 L 是上下文無關、R 是正規語言，「永遠」是上下文無關。直覺是正規語言根本不需要堆疊——有限自動機只有有限記憶——所以把它的記帳加到 PDA 上，對 PDA 不花額外成本；那一個堆疊仍然完全留給上下文無關的部分。

這個構造是一種積構造（product），就像兩台有限自動機的那種，只是套用在一台 PDA 與一台 DFA 上。讓辨識 L 的 PDA 和辨識 R 的 DFA 在同一段輸入上並排、同步地跑。建一台新 PDA，其狀態是一對 (PDA 狀態, DFA 狀態)；它的單一堆疊就是 PDA 的堆疊，DFA 那一半碰都不碰。讀到一個符號時，PDA 那一半做它的堆疊動作（推入或彈出），DFA 那一半只更新它的有限狀態。只有「兩」半都接受時才接受。因為 DFA 不貢獻任何堆疊，一個堆疊仍然夠用——所以結果是一台貨真價實的 PDA，因此其語言是上下文無關。

這是整個領域裡最有用的工具之一，無論是設計還是證明都用得上。設計上，你可以用一個正規濾鏡把上下文無關語言削減——例如只保留「同時」是偶數長度的括號平衡字串。證明上，它是顯示某語言「不」是上下文無關的主力：若你懷疑 L 不是上下文無關，就把它和一個精心挑選的正規語言 R 取交集，逼出一個更簡單的核心（常是像 a^n b^n c^n 這樣的東西），再對那個核心套用幫浦引理。若 L 是上下文無關，那 L ∩ R 也必須是上下文無關——而證明那個核心「不」是，就給出乾淨的矛盾。