範疇性（categoricity）

有些公理系統鬆散，描述許多真正不同的世界；有些則緊湊，只描述一個。一套公理系統當其所有模型本質上相同——同構（isomorphic），意指你能把它們的點配對得如此完美，使每個公理關係雙向都被保持——時，就具範疇性。範疇系統不只約束它的對象；它把對象完全釘死。在重新標記的意義下，恰有一個結構滿足它，於是這些公理可正當地說成描述那唯一一物。

歐氏幾何，配上希爾伯特包含兩條連續公理在內的完整公理集，是範疇的：它的每個模型都同構於由實數對所成的尋常座標平面。兩條連續公理在此做著決定性的工作。沒有它們，這些公理有許多不同構的模型——例如只用有理座標的「有理平面」，它滿足接合、順序與全等，卻滿是缺口，是個真正不同的結構。正是完備性迫使直線成為完整的實數線，從而把所有變化坍縮成單一形狀。這正是讓我們能以定冠詞說「這個歐氏平面」的依據：公理唯一地決定了它。

範疇性是一套公理系統所能取得最強的成功，且應與一致性、獨立性分開看待，後二者關乎模型是否存在、公理是否多餘。有個值得誠實點出的微妙技術點：此處的完全範疇性倚賴完備公理是一個「二階」陳述，對所有點的集合量化。若限於一階邏輯，沒有理論能在所有無窮大小上都範疇（這是勒文海姆－斯科倫定理的後果），所以「實平面是唯一模型」最乾淨的版本落在二階框架中。但在該框架內，結果精確而優美：希爾伯特公理描述一個世界，別無其他。