博特週期性（Bott periodicity）
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若你逐次數計算 K 理論而答案永遠變化下去，這理論就無法手算。博特週期性是一個驚人的事實：它們並不永遠變化——在複 K 理論中答案每兩個次數重複，在實 K 理論中每八個重複。你理解了一小段之後，整道無窮階梯就由不斷複製它而確定。
以叢的形式說，複博特週期性表明 K-tilde(X) 自然同構於 K-tilde(X 與 S^2 的破積)——乘以來自 K-tilde(S^2) 的博特元 [H] - 1（H 為重言線叢）給出同構 K(X) -> K(X times S^2 的約化)。迭代之，這說明複 K 群滿足 K^{n}(X) = K^{n+2}(X) 對所有 n：複 K 理論是 2 週期的，所以實際上只有兩個群 K^0 與 K^1。實理論 KO 是 8 週期的，KO^n(point) 走過著名的型樣 Z, Z/2, Z/2, 0, Z, 0, 0, 0 然後重複。在同倫論上，同一事實讀為穩定正交群與酉群的同倫群 pi_k(U) 與 pi_k(O) 的週期性，週期分別為 2 與 8。
這單一定理正是 K 理論之所以可計算、之所以配稱為具有乾淨結構之上同調理論的原因。它驅動指標定理的記帳、球面上向量場問題的解決，以及除法代數與可平行化球面（只有 S^1, S^3, S^7）的分類。一個值得內化的要點：週期 2 與 8 並非任意的裝飾——實情形中的 8 正是克利福德代數與八元數中出現的那個 8，而 2 與 8 的不一致正是實與複現象分道揚鑣的原因。
由於複 K 理論是 2 週期的，知道 K^0(point) = Z 與 K^1(point) = 0 就確定了所有 n 的 K^n(point)：偶次數為 Z，奇次數為 0，永遠如此。不需再計算更高次數——週期性把這兩個值沿整條整數線上下複製。
兩個值加上週期性，便給出點的整個複 K 理論。
複週期為 2、實週期為 8——別以為一個數字兩邊通用。實 KO 的型樣 Z, Z/2, Z/2, 0, Z, 0, 0, 0 含有複 K 理論從不出現的 2 撓；兩個理論確實不同，相關卻不相同。