BiCGStab（穩定化雙共軛梯度法）
/ BY-see-jee-stab /
BiCGStab 是針對非對稱矩陣一個惱人兩難的務實解答。GMRES 穩健，但它的記憶體每步增長，所以在難題上會變得昂貴。人們渴望一個像共軛梯度法的方法——固定記憶體、短遞迴、每步便宜——但能用於非對稱的 A。BiCGStab 正是最受歡迎的這類方法之一：它不論迭代次數多少，都維持固定、小的記憶體足跡，使它在 GMRES 的儲存代價過高的超大型問題上很有吸引力。
它源自雙共軛梯度（BiCG）的想法，該想法藉同時運用 A 與其轉置 A^T，為非對稱的 A 恢復了短遞迴。不過純 BiCG 的殘差不規則、劇烈震盪。BiCGStab——這個 Stab 代表 stabilized（穩定化）——在每次迭代加上一個額外的局部最小化（一個 GMRES(1) 風格的步），把收斂平滑化，使殘差下降穩定許多。最終結果是：在許多非對稱問題上，此法每步用兩次矩陣向量乘積、只儲存少數幾個向量就快速收斂——常以遠少的記憶體勝過重啟的 GMRES。
誠實的取捨是可靠性。不像 GMRES 的殘差保證單調遞減，BiCGStab 可能崩潰（隱藏著除以一個近乎零的量），而它的收斂雖通常不錯，卻無保證，在某些問題上仍可能不規則。所以實務智慧是：對非對稱系統先試 BiCGStab，因為它便宜又常常快；若它停滯或崩潰，就退回較穩健（但耗記憶體）的 GMRES。而且一如每個克雷洛夫方法，真正的槓桿是預條件子——好的能讓任一方法幾步就收斂，壞的則讓兩者都爬行。
在一個大型非對稱對流擴散系統上，每步做兩次 A 乘積、約儲存 7 個向量的 BiCGStab，常以比重啟的 GMRES(30) 更少的總矩陣向量乘積收斂，且只用一小部分記憶體——但在較剛性的變體上它可能崩潰，這時就切換到完整 GMRES。
短遞迴、固定記憶體的非對稱求解器——又快又便宜，但可能崩潰。
BiCGStab 以 GMRES 那種保證單調、不崩潰的收斂，換取低的固定記憶體。它通常在成本上勝出，卻可能崩潰或不規則收斂；把 GMRES 當作穩健的後備。沒有任何非對稱克雷洛夫方法是普遍最佳的——把選擇與一個強力的預條件子搭配起來。