貝它分配（beta distribution）
/ BAY-tuh /
你想為一個「比例」或「機率」建模——打擊率、硬幣有偏的可能性、不良品的比例——這種量必須落在 0 與 1 之間。貝它分配正是描述這類有界比例的彈性萬用形狀。轉動兩個旋鈕，它可以是平的、鐘形的、U 形的，或偏向任一端。
記作 p ~ Beta(alpha, beta)，含兩個形狀參數 alpha > 0 與 beta > 0。密度為 f(p) = p^(alpha-1) (1 - p)^(beta-1) / B(alpha, beta)（0 < p < 1），其中 B(alpha, beta) 是貝它「函數」，只是正規化常數。平均為 E[p] = alpha/(alpha + beta)——把 alpha 讀作「成功數」、beta 讀作「失敗數」，平均就是成功比例。alpha + beta 大時質量緊密集中；alpha = beta = 1 給出平坦的 Uniform(0,1)；alpha = beta > 1 給出以 0.5 為中心的對稱鐘形；alpha < 1 且 beta < 1 給出兩端堆積的 U 形。
貝它分配的招牌角色是貝氏推論中二項比例的共軛先驗：若你對某機率的信念是 Beta(alpha, beta)，接著觀測到 s 次成功與 f 次失敗，則更新後的信念就是 Beta(alpha + s, beta + f)——你只是把次數加上去。這讓「對比例的學習」幾乎變成算術。自然的提醒：貝它嚴格存在於 (0, 1) 上，所以對任何可能超過 1 或為負的量而言，它都是錯的模型。
你對某硬幣的偏向起初一無所知，Beta(1, 1) = Uniform(0,1)。看到 7 次正面、3 次反面後，你的信念變為 Beta(1 + 7, 1 + 3) = Beta(8, 4)，平均 8/12，約 0.67——偏向正面但不確定。
貝它分配只需把觀測到的成功與失敗加上去，便更新對比例的信念。
貝它「分配」與貝它「函數」B(alpha, beta) 同名卻是不同的東西——函數只是把密度縮放成面積 1 的那個常數。