貝內特不等式（Bennett's inequality）

貝內特不等式是針對獨立有界變數之和的經典「變異數加上界」集中不等式中最尖銳者。Hoeffding 只用值域、Bernstein 用變異數加上放寬的速率，而貝內特從相同的假設（一個變異數界與每個被加項的幾乎必然上界）中萃取出確切的最佳指數。它的速率函數正確地在高斯中心與卜瓦松尾之間插值，而 Bernstein 不過是貝內特速率的一個便利下界。

陳述如下：設 X_1、…、X_n 獨立、置中、幾乎必然 X_i <= b，且 sum Var(X_i) <= sigma^2。則對 t > 0，P(sum X_i >= t) <= exp(-(sigma^2 / b^2) h(b t / sigma^2))，其中 h(u) = (1 + u) log(1 + u) - u 是卜瓦松速率函數。函數 h 是關鍵角色：它是置中卜瓦松變數的速率函數，對小 u 有 h(u) ~ u^2/2（回到高斯尾 exp(-t^2 / 2 sigma^2)），對大 u 有 h(u) ~ u log u（回到形如 (sigma^2/(b t))^(t/b) e^(t/b) 的尾，比任何純指數都快）。卜瓦松速率函數出現的原因是結構性的：在所有給定變異數與給定上界 b 的分布中，極端大偏差行為由（複合）卜瓦松型分布達成，因此貝內特正是捕捉那個最壞情形。Bernstein 不等式由貝內特透過初等界 h(u) >= u^2 / (2(1 + u/3)) 得出，這以代數上更簡單的兩區段形式換取了確切的卜瓦松速率。

實務上，貝內特用於極端尾真正重要之處——罕見事件估計、由偶發大被加項驅動之估計量的分析，以及任何需要真對數速率而非便利界的場合。它的提醒正是其優點的鏡像：它需要變異數控制與幾乎必然的單邊上界 b，且是單邊的（對稱的雙邊陳述須以相關界對 X 與 -X 分別套用）。當 b -> 0 而 sigma^2 固定時（眾多微小被加項），貝內特界收斂到確切的高斯尾 exp(-t^2 / 2 sigma^2)，這是中央極限定理的定量化；當被加項無上界時，貝內特不適用，須用次指數（Bernstein）或更重尾的工具。