貝爾曼算子的壓縮性質（contraction property）

為什麼一再敲打同一個回溯，最後真的會定在一個答案上，而不是永遠遊蕩？因為貝爾曼算子是個壓縮映射：每套用它一次，任兩個價值估計之間的差距，至少會以一個固定的比例縮小。誤差只會越來越小，於是整個過程被無可避免地拉向唯一的歇腳點。

若以最大範數來衡量——也就是各狀態差異中的最大值——套用算子會讓任兩個價值函數之間的距離，至多乘上折扣因子，而折扣因子小於一。根據巴拿赫不動點定理，這保證了唯一的不動點，以及朝它的幾何級數收斂：掃描 k 輪後的誤差，至多是該因子的 k 次方乘上初始誤差。這一個事實，撐起了所有動態規劃的正確性。