貝氏派與頻率派推論之別（Bayesian vs frequentist inference）

把資料化為結論有兩大傳統，它們在一件根本的事上意見相左：「機率」被允許用來描述什麼。頻率派把機率保留給可重複事件的長期頻率，所以像某種藥的真實療效這樣的固定未知就沒有機率——它就只是某個數字。貝氏派則允許機率描述一種信念程度，所以對那個未知放上一個分布並更新它，完全沒問題。從這一個哲學上的岔路，長出了兩整套工具箱。

看看每一派如何處理未知 theta 與資料。頻率派把 theta 固定、把資料當成隨機；推論問的是「在許多假想的重複下，我的估計量會如何表現？」——給出最大概似估計、p 值與信賴區間，這些都不對 theta 本身賦予機率。貝氏派把觀測到的資料固定、把 theta 當成隨機的未知；推論就是後驗，可信區間與預測都直接由它落下。一個鮮明的對比：被問到一個 95 百分比的區間，頻率派保證那個「程序」在重複下有 95 百分比的時候涵蓋 theta，而貝氏派斷言 theta 落在「這個」區間裡的機率是 0.95。

想替誰加冕為勝者很誘人，卻是錯的。頻率派方法不需先驗，且帶有乾淨的重複抽樣保證，但它的輸出（尤其是 p 值與信賴區間）常被誤讀成貝氏陳述。貝氏派方法給出可直接詮釋的答案，並自然地把先驗知識與不確定折入，但它要你陳述一個先驗，且通常需要繁重的計算。實務上兩者數值上往往一致——資料多而先驗溫和時，後驗均值就坐落在最大概似估計附近，可信區間也幾乎吻合信賴區間——而好的實務者會自由地從兩邊取材。