公理化方法（axiomatic method）

假設你想建立一套完全可信的真命題。你無法證明每件事，因為每個證明都倚賴更早的命題，而這條鏈條若不在某處停下，就會無止盡延伸。公理化方法是誠實的出路：先寫下一份簡短的起始假設清單，講清楚它們的意思，然後純粹靠邏輯由它們證出其他所有主張。此後你斷言的一切，要嘛是你公開選定的公理，要嘛是你推導出的定理——沒有任何東西能偷偷溜進來。

具體而言，這套方法有四個部分。第一，未定義詞（undefined term）——像「點」「線」「落在……上」這類基本字詞，你不去定義它們，因為定義也得在某處停下。第二，公理（或稱公設，axiom／postulate）——關於這些詞、你不加證明就接受的命題。第三，定義（definition）——把舊詞的組合引進新詞作為簡稱（「線段」由點與介於關係定義出）。第四，定理（theorem）——其餘一切，每條都由公理、定義與先前證得的定理透過演繹論證證出。在腦中跑個例子：由公理「任兩點恰落在一條線上」與「至少存在三個不全共線的點」，你不必畫任何圖，就已能證出定理「兩相異線至多交於一點」。

這正是歐幾里得約於公元前 300 年首創、希爾伯特於 1899 年臻於完善的方法；它是所有現代純數學的形態，不只是幾何。它最大的優點是讓你的假設可見、推理可查。它誠實的極限——由二十世紀的哥德爾（Godel）說精確——是：任何一個夠豐富的公理系統，永遠無法證出關於自身的每個真命題，也無法證明自己不含矛盾——所以這套方法給的是相對於你公理的確定性，而非無中生有的確定性。