二階線性方程：齊次
輔助方程（auxiliary equation）
輔助方程不過是特徵方程的另一個名字，當你試以指數解時，常係數線性常微分方程所化成的那個代數多項式。這兩個術語完全可互換；只是不同教科書恰好偏好用不同的詞稱呼同一個對象罷了。
從 a y'' + b y' + c y = 0 出發，你代入試解 y = e^(r x)。由於每次求導帶下一個 r 因子，方程變為 (a r^2 + b r + c) e^(r x) = 0，除以永不為零的指數，便留下輔助方程 a r^2 + b r + c = 0。它「輔助」之處，在於它是個幫手問題：你其實並不在乎 r 本身，但解這個小多項式，會把搭建解所需的指數交給你。輔助方程的次數與常微分方程的階數相符，二階給出二次式，n 階給出 n 次多項式，而其根的性質（相異實根、重根或複根）選定你要寫下三種解形式中的哪一種。
為何保留兩個名字？「特徵」強調這個多項式捕捉了方程的內在性格，它的自然頻率與衰減率。「輔助」強調它作為踏腳石的角色，是你通往答案途中計算的對象。認清它們是同義詞，能省去你在不同來源中同時遇見兩者時的困惑；它們之間並沒有藏著什麼微妙的區別。
對 2 y'' - 3 y' + y = 0，輔助方程是 2 r^2 - 3 r + 1 = 0，即 (2r - 1)(r - 1) = 0，給出 r = 1/2 與 r = 1。故 y = c1 e^(x/2) + c2 e^x。無論你的書稱它為輔助方程或特徵方程，步驟完全相同。
輔助方程與特徵方程指的是關於 r 的同一個多項式。
別把常係數常微分方程的輔助（特徵）方程，與級數解在奇點附近的弗羅貝尼烏斯法的指標方程混淆，兩者都是小多項式，卻源自不同的設定、有不同的意義。
又称
另见