增廣路徑（augmenting path）
你已導引了一些水，想送更多。若你能沿著仍有空間的管子描出一條從抽水機到排水口的路線——可能還包含一些「撤銷」動作來拉回先前送出的水——那你就能一次沿整條路線推送額外的水。這樣的路線就是增廣路徑，找到一條就表示流還沒到最大。
精確地說，增廣路徑是殘餘網路 Gf 中一條從 s 到 t 的路徑，其上每條邊都有正的殘餘容量。它的瓶頸是路徑上最小的殘餘容量。要增廣，就在路徑的每條前向邊上把流量加上那個瓶頸量、在每條後向邊上減去它；這在維持容量與守恆的同時，恰好把流值增加一個瓶頸量。例如，若路徑 s -> a -> b -> t 的殘餘容量為 5、2、4，瓶頸是 2，於是你多推 2 單位，流值上升 2。由於其中某些邊可能是後向（撤銷）邊，增廣能把先前的流改道，而不只是加入新流。
增廣路徑是最大流演算法的基本動作：重複「找一條增廣路徑、沿之推送」，直到再也找不到為止。深刻的事實（增廣路徑定理）是：一個流是最大的，當且僅當它的殘餘網路沒有增廣路徑——所以這條簡單的停止規則恰好正確，而那一刻，無法抵達的頂點揭示了一個最小割。陷阱在於你選哪條路徑：任意選（樸素的福特-富爾克森）在無理數容量上可能很慢甚至不終止，而總是取最短的增廣路徑（埃德蒙茲-卡普）則保證增廣次數為多項式。
設目前的流在 s->a->t 上使 a->t 飽和，假設殘餘路徑 s -> b -> a -> t 存在，其中 b -> a 用一條後向殘餘邊（撤銷部分 a->b 的流）。它的瓶頸假設為 1；增廣推送 1 單位、把 a 的流改道，並使總量上升 1——這是樸素貪婪找不到的路徑。
路徑的瓶頸就是你的增益；後向邊讓增廣路徑得以撤銷並改道先前的選擇。
沒有增廣路徑就代表最大流——這是定理，不只是啟發式的停止。但路徑的選擇決定速度：任意選擇在無理數容量上可能呈指數或迴圈；最短路徑選擇（埃德蒙茲-卡普）則維持多項式。