a^n b^n c^n 不是上下文無關（not context-free）
語言 { a^n b^n c^n : n >= 0 } 是上下文無關文法（context-free grammar）爬不上去的著名高牆。它是每個「先若干個 a、再「同樣」多個 b、再「同樣」多個 c」的字串：ε、abc、aabbcc、aaabbbccc，依此類推。它的雙字母近親 a^n b^n「是」上下文無關（一個堆疊把 a 對上 b），所以人們很想以為加上第三個字母也不會更難。其實更難——而原因就是下推自動機那一個堆疊。
用白話說出障礙。要接受 a^n b^n c^n，一台 PDA 會為每個 a 推入一個標記，再為每個 b 彈出一個標記，確認 b 與 a 相符。但等到 b 比對完，堆疊已經空了——關於 n 的記憶已經花光。沒有東西能再拿來和 c 比對。一個堆疊只能恰好鎖住「一」對相等的個數；第三組無人看守。再怎麼用單一堆疊耍聰明都繞不過去，而上下文無關語言的幫浦引理把這個直覺變成嚴謹的證明。
它的重要性有兩面。它是「上下文無關類別「嚴格」小於上一層」的標準見證（這類三方計數的語言住在上下文相關（context-sensitive）類別裡），也是不封閉結果背後的引擎：把兩個 CFL——a^n b^n c^m 與 a^m b^n c^n——取交集，恰好產生 a^n b^n c^n，從而證明 CFL 對交集不封閉。每當你看到一個語言要求三組或更多組獨立的相等個數，你「大概不是上下文無關」的警報就該響起。
成員：ε、abc、aabbcc、aaabbbccc。非成員：ab（個數 1,1,0 不相等）、aabbc（a＝b＝2 但 c＝1）、aabbbccc（b 與 a 不相等）。「a＝b＝c」這個定義性要求，正是單一堆疊無法強制的。
三組獨立的相等個數：一個堆疊只能鎖一對，所以這個語言不是上下文無關。
破壞上下文無關性的是「三方」相等；雙組的 { a^n b^n } 是上下文無關，甚至 { a^n b^n c^m }（只要 a 與 b 相符）也是上下文無關。加上第三個被綁定的組才是致命的。