交錯張量（alternating tensor）
張量是一個裝置：吃進若干個向量，吐出一個數，且對每個槽位都是線性的。交錯張量是這樣的張量：只要你交換餵進去的任意兩個向量，它就會變號。想要這種性質的日常理由是帶號體積。若你量度若干向量所張的盒子的體積，交換其中兩個會把定向反過來、因而變號，而把同一個向量餵進兩次則給出退化的零體積盒子——這正是行列式的行為。
精確地說，向量空間 V 上的一個交錯 k-張量是一個多重線性映射 omega: V x V x ... x V（k 份）-> R，使得對任意兩個自變數的對換，omega(..., v, ..., w, ...) = - omega(..., w, ..., v, ...)。等價地，只要有兩個自變數相等、或自變數線性相依，omega 就為零。這種張量的全體恰好是 Lambda^k(V*)，即對偶空間外代數的 k 次部分，維數為 C(n, k)。行列式是其原型：在 n 維空間上，它是唯一（差一個倍數）的交錯 n-張量。
交錯張量是微分形式逐點的原料：流形 M 上的一個 k-形式對每一點 p 指派一個切空間 T_p M 上的交錯 k-張量。正是交錯這個條件使積分與座標無關——換變數時，反對稱性恰好產生雅可比行列式，因此形式的積分不依賴於座標卡。一個微妙處：在特徵零的域上（如此處的實數）「交錯」與「反對稱」一致，但在特徵 2 時兩者有別，這正是嚴謹的文本說「交錯」的原因。
在 R^3 上，映射 omega(u, v, w) = det[u | v | w] 就是那個交錯 3-張量。2-張量 dx ^ dy 的作用為 (dx^dy)(u, v) = u_1 v_2 - u_2 v_1，即平行四邊形投影到 xy-平面後的帶號面積；交換 u 與 v 使其變號，而 (dx^dy)(u, u) = 0。
交錯 2-張量量度帶號的投影面積；行列式正是偽裝起來的交錯 n-張量。
任何張量都能透過反對稱化算子（Alt）變成交錯張量，即對帶號置換取平均。但若用 Alt 來定義楔積，會帶有一個正規化常數（一個 k!/(p!q!) 因子），不同文本選擇不同——Spivak、Lee、Warner 在這因子該放進楔積還是放進積分這點上並不一致。請聲明你的約定。