指示隨機變數（indicator random variable）
想像一個計數器，當某件特定的事發生時你恰好按一次，不發生就完全不按。要數某件事在多次試驗中發生幾次，你給每次試驗一個自己的計數器，再把按鍵次數加起來。指示隨機變數就是這個「單一事件計數器」化成數學：事件發生時它是 1，不發生時是 0。
精確地說：對一個事件 A，指示變數 X_A 定義為 A 發生時 X_A = 1，否則 X_A = 0。它的關鍵特性是期望值等於事件的機率：E[X_A] = 1 乘以 Pr[A] + 0 乘以 Pr[非 A] = Pr[A]。這造就了一個強大的三步計數配方。第一步：把你關心的量寫成指示變數之和，X = X_1 + X_2 + ... + X_n，每個可能的發生對應一個。第二步：由期望值的線性性質，E[X] = Σ E[X_i] = Σ Pr[事件 i]。第三步：算出每個小機率再相加。例如要求 n 頂帽子隨機歸還時，拿回自己帽子的人數期望：令 X_i 表示第 i 人拿回自己的帽子，於是 E[X_i] = 1/n，而 E[X] = n 乘以 1/n = 1。
指示變數是幾乎每個乾淨隨機分析背後的主力——快速排序的期望比較次數（X_ij 表示元素 i 與 j 是否曾被比較）、雜湊的期望碰撞數、空桶的期望數目。它們之所以重要，是因為把一個困難的全域計數，換成一袋可以逐一計算的瑣碎局部機率。誠實的提醒：指示變數只給你平均值。要說這個計數以高機率接近平均，你需要一個尾界；若事件相依，你可能需要額外小心（帶共變異數的切比雪夫，或為切爾諾夫所需的獨立性）。
擲一枚公正硬幣 100 次；令 X_i 在第 i 次為正面時為 1。正面次數為 X = X_1 + ... + X_100，而 E[X] = Σ E[X_i] = 100 乘以 (1/2) = 50。不需要組合學——每次擲幣一個指示變數，加一次就好。
E[指示變數] = Pr[事件]：把計數變成把機率相加的橋樑。
其奧妙在於把指示變數相加用的是線性性質，而線性從不需要獨立性——所以即使事件糾纏相依，你也能算出期望計數。獨立性要到後來、當你想對這個計數取尾界時才變得必要。