物理學 1916

論按照愛因斯坦理論的質點引力場

卡爾·史瓦西

愛因斯坦方程的第一個精確解——以及時空被撕裂的那個半徑。

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In depth · the introduction

拿任何一個物體，把它壓得足夠小，愛因斯坦的方程便說：時空會像一道活板門那樣在它周圍合攏——而史瓦西，恰恰找出了那道活板門的所在。

核心想法

1915 年年末，愛因斯坦完成了廣義相對論：引力不是一種力，而是質量周圍時空的彎曲。可他的方程艱深得嚇人，他自己也只能近似地去解。史瓦西卻為最簡單的情形求出了精確解——一個渾圓、靜止的質量（譬如一顆理想化的恆星）周圍的空曠空間。

從這個答案裡，掉出了一個與質量相繫的數，今天我們稱之為史瓦西半徑。對大多數物體而言，它小得微不足道、什麼也不意味著：太陽的史瓦西半徑約為 3 公里，深埋在太陽內部。但它標記著一道門檻。倘若你能把一個質量壓進這個半徑之內，時空的彎曲便會變得徹底：連光都再爬不回來。那個表面——那個有去無回的臨界點——正是我們今天所稱的事件視界，也就是黑洞的邊緣。

它是如何誕生的

這個時間點，幾乎令人難以置信。愛因斯坦於 1915 年 11 月向柏林科學院呈交了他最終的場方程。到了 12 月，卡爾·史瓦西——波茨坦天文台台長，但在那一刻，卻是一位 42 歲、在第一次世界大戰俄國前線服役的砲兵軍官——已經讀到了它，並在計算砲彈彈道的勤務之餘，推出了那個精確解。

他把它寄給了愛因斯坦，後者大為驚訝，並於 1916 年 1 月代史瓦西向科學院宣讀。「我沒有料到，這個問題的精確解竟能表述得如此簡單，」愛因斯坦回信道。其時史瓦西已身患在前線感染的一種自身免疫疾病、病勢沉重。他又寄出了第二篇論文，隨後因病被遣送回國，並於 1916 年 5 月辭世。他從未知道，他方程裡那個奇異的半徑，日後會成為物理學中最著名的對象之一。

它為何重要

這是愛因斯坦理論第一個精確、完整的解——它證明了：這門新物理產生的，不只是對牛頓的修正，而是一套乾淨、可算的幾何。它精確地釘死了水星的軌道，也成了相對論一切預言的試驗場：光線偏折、引力中時間變慢、軌道的精確路徑。

而藏在它內部的，是連史瓦西和愛因斯坦都不相信真實存在的東西——黑洞。有半個世紀之久，大多數物理學家都把那道視界當成一個數學上的小毛病。直到很久以後，人們才發現它描述的是宇宙中真實的對象：那些恆星坍縮得如此之深、以至於消失在自身的史瓦西半徑之後的地方。

一個可以想像的畫面

想像一條流向瀑布的河裡有個游泳者，河水越近邊緣流得越急。在上游很遠處，水流是平緩的；游泳者總能掉轉身，奮力游回岸邊。可在某一處，有一條線，河水終於流得比游泳者所能游的還快。一旦越過它，無論你多麼拼命，都會被沖下瀑布。一個沉重質量附近的時空，就像那股水流一樣向內流淌，而事件視界，正是那條線——在那裡，「快得足以逃脫」將意味著比光還快，而那是任何東西都做不到的。

它的位置

史瓦西的解，是愛因斯坦廣義相對論的頭生子，也是一切黑洞科學的母體。牛頓曾把引力解釋為一種穿越空曠空間拉扯的力；愛因斯坦把它重鑄為彎曲的幾何；史瓦西則給了這幾何第一張精確的面孔。從這裡，故事向前奔流：流向羅伊·克爾於 1963 年描述的旋轉黑洞，流向 LIGO 於 2015 年捕獲為引力波的那些時空漣漪，也流向 2019 年那第一張黑洞陰影的照片。而這一切，每一樁，都始於他在東線找到的那個半徑。

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§1——愛因斯坦提出的問題

K. Schwarzschild · Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin (Math.-Phys.) 1916: 189–196 · communicated January 13th, 1916

In his work on the motion of the perihelion of Mercury (see Sitzungsberichte of November 18th, 1915) Mr. Einstein has posed the following problem:

Let a point move according to the prescription δ∫ds = 0, where ds = √(Σ g_µν dx_µ dx_ν), µ, ν = 1, 2, 3, 4 … In short, the point shall move along a geodesic line in the manifold characterised by the line element ds.

§1——對引力場的四個條件

Let x1, x2, x3 stand for rectangular co-ordinates, x4 for the time; furthermore, the mass at the origin shall not change with time, and the motion at infinity shall be rectilinear and uniform. Then … the following conditions must be fulfilled too:

1. All the components are independent of the time x4.

2. The equations g_ρ4 = g_4ρ = 0 hold exactly for ρ = 1, 2, 3.

3. The solution is spatially symmetric with respect to the origin of the co-ordinate system in the sense that one finds again the same solution when x1, x2, x3 are subjected to an orthogonal transformation (rotation).

4. The g_µν vanish at infinity, with the exception of the following four limits different from zero: g44 = 1, g11 = g22 = g33 = −1.

§4——精確的線元

When one introduces these values of the functions f in the expression (9) of the line element and goes back to the usual polar co-ordinates one gets the line element that forms the exact solution of Einstein's problem:

ds² = (1 − α/R) dt² − dR² / (1 − α/R) − R² (dϑ² + sin²ϑ dφ²), R = (r³ + α³)^(1/3). (14)

The latter contains only the constant α that depends on the value of the mass at the origin.

§4–§6——撕裂之處、關聯 ρ = α³，以及軌道

Therefore all the conditions are satisfied apart from the condition of continuity. f1 will be discontinuous when 1 = α(3x1 + ρ)^(−1/3), 3x1 = α³ − ρ. In order that this discontinuity coincides with the origin, it must be ρ = α³. Therefore the condition of continuity relates in this way the two integration constants ρ and α.

[ … ]

For an ideal mass point, however, it follows that the angular velocity does not, as with Newton's law, grow without limit when the radius of the orbit gets smaller and smaller, but it approaches a determined limit n0 = 1 / (α√2). (For a point with the solar mass the limit frequency will be around 10⁴ per second.)

Communicated to the Prussian Academy of Sciences, Berlin · January 13, 1916