物理學 1926

量子化作為本徵值問題

埃爾溫·薛丁格

原子裡的電子是一道駐波——量子數，不過是裝進去的半波數目。

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In depth · the introduction

把一道波關進一隻盒子，就只有某些形狀裝得進去——量子物理裡那個「量子」，正是從這一個事實來的。

核心想法

到 1926 年，物理學家知道原子很古怪：一個電子只能待在某些能量上，並在它們之間「跳躍」，可沒人知道為什麼。薛丁格的答案，是不再把電子想成一顆小球，而開始把它想成一道波。而波，一旦被你圈起來，就變得挑剔——一根兩端固定的吉他弦，只能以整數個「環」振動：一個環、兩個、三個，永遠不會是兩個半。

他的方程，對電子做的正是同一件事。把它關進一個原子裡，就只有某些波形「裝得進去」。每一種裝得進去的波形，都有它自己的能量，於是被允許的能量，自動地成了一組離散的值。那些神祕的量子數，原來不過是：這道波有幾個環。整數從來不是用手放進去的；它們，是把一道波裝進一個空間時，自己掉出來的。

它是如何誕生的

這個想法有一顆火種。1924 年，年輕的法國物理學家路易·德布羅意提出，物質也像光一樣，有一個波長。愛因斯坦把它當真了，薛丁格也是——他在 1925 至 1926 年的聖誕假期，於瑞士的一處阿爾卑斯山間度假地，推導出了那個將以他命名的波動方程。幾個月內，他就解出了氫原子，並發表了一連串論文。

他並不孤單。早一年，維爾納·海森堡，與馬克斯·玻恩、帕斯庫爾·約爾旦一起，造出了一套對手的「矩陣力學」，靠擺弄一排排數字得到同樣的答案——抽象，而且在許多人看來並不可愛。薛丁格的波，則顯得可視而親切，物理學家紛紛投奔；他隨後證明了這兩套理論其實是同一回事。但這份安慰是誤導人的：玻恩指出，那道波並不告訴你電子在哪裡，只告訴你在那裡找到它的機率。薛丁格厭惡這一點，以至於 1935 年想出了他那隻著名的貓來嘲諷它。

它為何重要

這個方程，簡單說，就是我們如何計算原子的世界。每一根化學鍵、每一個分子的形狀，氖為何發紅光、鈉為何發黃光，半導體如何導電，雷射如何工作——所有這些，在底層，都是薛丁格方程的一個解。它把化學從一本配方目錄，變成了某種你可以計算的東西，並在一個世紀之後，仍是物理學家與化學家每天的工具。

一個可以想像的畫面

想像一根吉他弦。撥動它，它只能唱出某些音——一個基音，和它的泛音——因為兩個固定端之間，只裝得下整數個半波。你不可能有半個環；弦不答應。薛丁格的洞見是：困在原子裡的電子，就和那根弦一樣。它的「音」，就是那些被允許的能級，而量子數，就是泛音的編號。原子之所以有一組離散的能量，與一根弦之所以有一組離散的音高，是同一個道理。

它的位置

普朗克（1900）與愛因斯坦（1905）已表明，光是一份份的；波耳（1913）猜到原子有固定的能級，卻說不出為什麼。薛丁格與海森堡補上了這個「為什麼」，正式奠定了量子力學。這條線繼續向前，通往為它加上相對論、並預言反物質的狄拉克，通往電晶體與雷射——而同一個方程，如今又托著量子電腦的量子位元。在本館裡，它正坐落在普朗克的量子，與希格斯、重力波這些現代物理之間。

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E. Schrödinger · Annalen der Physik 79 (1926): 361–376 · received 27 January 1926

Part I — replacing the quantum conditions

Schrödinger opens by proposing to drop the old, hand-imposed rule that certain quantities must come in whole multiples of a quantum, and to replace it with a single requirement: that a field quantity ψ be finite, single-valued and continuous everywhere. From that one demand, the discreteness falls out by itself.

In this paper, I wish to consider, first, the simple case of the hydrogen atom (nonrelativistic and unperturbed), and show that the customary quantum conditions can be replaced by another postulate, in which the concept of ‘whole numbers’, merely as such, is not introduced. Rather, when integralness does appear, it arises in the same natural way as it does in the case of node-numbers of a vibrating string.

He then writes a wave equation for the hydrogen electron — in modern symbols, ∇²ψ + (2m/ħ²)(E + e²/r)ψ = 0 — and asks for which energies E a well-behaved ψ exists. The answer is only the discrete set Eₙ = −me⁴/2ħ²n² = −13.6 eV / n²: precisely Bohr's spectrum, now recovered with no extra quantum hypothesis.

Parts II–IV (1926)

Across three further communications that same year, Schrödinger built out the theory: the optical–mechanical analogy that motivates the equation (II), a perturbation method that delivered the Stark effect (III), and the time-dependent equation iħ ∂ψ/∂t = Ĥψ together with a first reading of what ψ might physically mean (IV). In a separate 1926 paper he proved his wave mechanics and Heisenberg's matrix mechanics are mathematically equivalent.

Zürich · 1926