數學 1859

論小於給定數值的質數個數

波恩哈德·黎曼

黎曼把散落的質數，繫於一個複變函數的零點之上——並留下了數學中最著名的未解難題。

Choose your version

In depth · the introduction

質數沿著數軸看似散落隨機——可藏在它們之中的，卻是一段旋律，寫在一個神秘的函數裡。

核心想法

質數——2、3、5、7、11……——是算術的原子，可它們出現得毫無明顯規律。黎曼找到了一種度量這種規律的辦法。他研究一個今天稱作黎曼 ζ 函數的函數，並發現：它取值為零的那些地方，暗中支配著質數如何鋪展。

更妙的是，他寫下了一份精確的配方：一條平滑曲線，緊緊追蹤「任一數值以內有多少質數」，再加上一組細密的「波」，來交代每一處顫動。這些波的頻率，恰恰就是他那個函數的零點。然後，便是那個著名的猜想——黎曼猜想——斷言：所有這些特殊的零點，都完美地排在同一條直線上。至今無人能證明它。

它是如何誕生的

波恩哈德·黎曼是哥廷根一位羞怯而多病的天才，是偉大的高斯的學生。1859 年，剛當選柏林科學院通訊院士的他，以一篇論文回報這份榮譽——僅僅九頁，是他一生中唯一發表的關於質數的文字。在其中，他隨手拋出的念頭遠遠超前於時代，數學家至今仍在一點點把它們解開。

對於那處空白，他很誠實。就在陳述完自己的猜想之後，他便坦言：曾幾次短暫地試著證明，未果，於是把它擱在一邊，認為眼下並非必需。他三十九歲便去世，證明依舊缺席。直到數十年後，人們才發現：他私人的筆記裡，藏著遠比那篇謙遜論文所流露的更深的計算。

它為何重要

黎曼把一個關於整數的問題，變成了一個關於平面上某個平滑函數的問題——而正是這一「翻譯」，打開了一切。它解釋了「數質數」的那條粗略規則為何管用，釘死了誤差的大小，並為整整一門數學分支定下了綱領。這條猜想本身，則成了這一領域最著名的未解難題，誰能了結它，便有百萬美元的獎金在等著。

一個可以想像的畫面

想像一道參差不齊的階梯，每經過一個質數，就上一級台階。從遠處看，這道階梯像一條平滑上升的坡道——那條坡道，就是黎曼的 Li(x)。可湊近了看，台階有的高出坡道、有的低於坡道。黎曼證明：這些抖動，是一組純淨樂音之和，而每個樂音的音高，由他那個函數的一個零點決定。猜想說的是：所有這些樂音都完美合調——沒有哪一個比它應有的更響。換句話說，質數奏著某種音樂，而黎曼，寫下了那份樂譜。

它的位置

黎曼站在歐拉的肩上——兩個世紀前，是歐拉第一個把質數繫於這個和式；也站在高斯的肩上——是高斯少年時猜出了那條計數定律。他那套複分析的工具，生自十九世紀同一場綻放，而那場綻放也給了我們傅立葉的波（1822）——事實上，黎曼的質數，正如傅立葉的信號，最終都化作了波之和。他這條猜想的「未證」之身，與這座圖書館裡一項更晚的發現遙相呼應：哥德爾的不完備定理（1931）表明，有些為真的命題，也許永遠在證明之外——儘管黎曼猜想究竟只是難、還是當真不可證，無人知曉。

The original document

Original source text

Bernhard Riemann · «Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse» · Monatsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin · November 1859

The opening

Riemann frames the paper as a gift of thanks for his election to the Berlin Academy: he will repay the honour by communicating an investigation into the frequency of the primes — a subject, he notes, that Gauss and Dirichlet had long found worthy of attention.

Meinen Dank für die Auszeichnung, welche mir die Akademie durch die Aufnahme unter ihre Correspondenten hat zu Theil werden lassen, glaube ich am besten dadurch zu erkennen zu geben, dass ich von der hierdurch erhaltenen Erlaubniss baldigst Gebrauch mache durch Mittheilung einer Untersuchung über die Häufigkeit der Primzahlen; ein Gegenstand, welcher durch das Interesse, welches Gauss und Dirichlet demselben längere Zeit geschenkt haben, einer solchen Mittheilung vielleicht nicht ganz unwerth erscheint.

The zeta function and its continuation

He begins from Euler's identity — the sum of 1/n^s over all integers equals the product of 1/(1 − p^−s) over all primes p — and takes the bold step of letting the variable s be complex. The series converges only when the real part of s exceeds 1, but Riemann continues the function ζ(s) analytically across the entire complex plane, where it is everywhere finite except for a single simple pole at s = 1.

The functional equation and the zeros

He proves a functional equation: the completed function ξ(s) = π^(−s/2) Γ(s/2) ζ(s) satisfies ξ(s) = ξ(1 − s), a mirror symmetry about the vertical line where the real part of s equals one half. This forces ζ to vanish at the negative even integers (the 'trivial' zeros) and to confine every other zero to the critical strip between 0 and 1. He estimates how many such zeros lie up to a given height.

The hypothesis

Then comes the sentence that has outlasted everything around it. Having counted the zeros, Riemann states where he believes they all lie — and, with disarming candour, sets the proof aside. (In English, after Wilkins: 'it is very probable that all roots are real. Of course one would wish here for a rigorous proof; I have for the time being, after some fleeting vain attempts, provisionally put aside the search for it, as it appears dispensable for the immediate objective of my investigation.')

… und es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien.

The prime count

Finally he gives an explicit formula for the number of primes below a given magnitude. Its smooth main term is the logarithmic integral Li(x); to it Riemann adds an oscillating correction for every nontrivial zero. The apparently random primes are thus expressed exactly as a smooth trend plus a sum of waves — and the frequencies of those waves are precisely the zeros of ζ(s).

[ … ]