具有極複雜動態的簡單數學模型
一條一行的族群方程，完全確定，卻能安頓於穩定水平、擺入無盡循環、或爆發為混沌——證明簡單的規則未必有簡單的行為。
你能寫下的最簡單的方程之一——一條決定明年族群數量的規則——竟會表現得如此狂野，以至它的未來變得無法預測，儘管它身上沒有任何隨機的東西。
把這個想法拆開看
梅研究的是一個一行的族群模型：每一年的數量，由上一年的數量經一條簡單規則算出，規則上只有一個旋鈕——增長率。把旋鈕擰低，族群會安頓到一個穩定的數。稍微擰高，它就不再安頓——而是在高產的一年與低產的一年間來回翻轉，永不停歇：豐、歉、豐、歉。再擰高些，這個循環就翻倍成四年，再翻成八年，越來越快。
越過某個刻度，翻倍便再也停不下來：族群的軌跡轉入混沌——它永不重複，兩個起點只差毫釐的族群，很快便南轅北轍。最叫人吃驚的是，這條規則完全固定，裡面沒有半點偶然。複雜的、看似隨機的行為，竟可以出自一個極其簡單的確定性成因。
它從哪裡來
到 1970 年代中期，羅伯特·梅——一位由物理學轉向生態學、任職於普林斯頓的澳大利亞人——正研究動物族群如何逐年起落。像他那樣的模型，本是用來預測穩定水平或平緩循環的。可一迭代它們，他不斷撞見毫無規律地亂跳的數字——他這才意識到，這團亂麻並非模型的瑕疵，而是方程貨真價實的特徵。
旁人也曾瞥見過其中的片段——數學家早已注意到這類映射的奇異行為，愛德華·洛倫茲也在 1963 年於天氣方程裡發現過不可預測——但在 1976 年，梅在《自然》上寫下一篇簡短而有力的綜述，把它們匯攏起來、敲響了警鐘。不久之後，米切爾·費根鮑姆證明：那一連串翻倍遵循一個普適的數值規律，把一樁奇聞變成了一條定律。
它為何重要
它推翻了一個深植人心、令人安心的假設：無規、不可預測的行為，必有無規、複雜或隨機的成因。梅卻表明，恰恰相反的情形十分常見——最樸素的確定性規則，原則上也可以是不可預測的。這改變了科學家讀取資料的方式：一份劇烈波動的魚群、蟲災或流行病記錄，也許是確定性混沌，而非雜訊。它還教給天氣、生態與經濟學一則同樣謙卑的道理——能寫出確切的規則，並不意味著你能預報結果。
一個類比
想像一臺影印機，被設定為「影印本再影印、再影印」，只有一個旋鈕控制對比度。在低檔，圖像會安頓下來、不再變化。輕輕一擰，它就開始在兩幅圖像間閃爍；再擰，在四幅間閃；越過某個臨界點，每一張影印本都與上一張不同、毫無規律地飄移——儘管機器每一次做的，都是同一件確定的事。下面這個小玩意兒就是這臺機器：滑動增長率，看族群如何從單一的穩定水平，到整齊的循環，再到混沌。
它落在何處
這是本館通向混沌最簡單的那道門。愛德華·洛倫茲（1963）在天氣那平滑的方程裡，發現了同樣的敏感性；本華·曼德博（1967）描繪了這類系統所勾勒出的、參差的分形幾何；而洛特卡–沃爾泰拉方程（1926），給出的是更古老、更溫馴的圖景——捕食者與獵物平滑地循環。梅的邏輯斯蒂映射，把這整齣大戲，提煉成了一行算術，讓混沌成了一個小學生都能用手算出來的東西。
First-order difference equations arise in many contexts in the biological, economic and social sciences. Such equations, even though simple and deterministic, can exhibit a surprising array of dynamical behaviour, from stable points, to a bifurcating hierarchy of stable cycles, to apparently random fluctuations.