論幾何學原理
舍棄歐幾里得的平行公設，一門全新的幾何就立了起來——自洽，且彎曲。
兩千年裡，幾何裡有一條規則看上去太顯而易見，以至於無人去質疑。羅巴切夫斯基質疑了它——結果發現了另一門幾何，和歐幾里得的一樣自洽，只是在那裡，平行線的表現跟你預期的完全不同。
核心想法
歐幾里得把整個幾何建在五條起始規則上。其中四條都顯而易見。只有第五條——關於平行線的那一條——總顯得笨拙，像是本該能從其餘幾條推導出來的東西。兩千年裡，最出色的數學家都試圖證明它。他們全都失敗了。
羅巴切夫斯基問了一個大胆的問題：要是第五條干脆就是錯的呢？要是過線旁一點，你能畫的不是一條平行線，而是好多條永遠碰不到它的直線呢？結果滾出來的不是胡言亂語，而是一門完整、自洽的幾何——在那裡三角形內角和不足 180°，越大的三角形彎得越厉害，而歐幾里得的規則只有在圖形很小時才重新歸來。他意識到：空間未必非得服從歐幾里得。可能的幾何不止一種；而現實世界到底服從哪一種，是個靠測量、而非靠純粹推理來回答的問題。
它是如何誕生的
尼古拉·羅巴切夫斯基幾乎一生都在喀山大學度過，那裡遠離歐洲的數學中心，而他一路升任到校長。他於 1826 年首次向全系報告這門奇怪的幾何，隨後在 1829 和 1830 兩年，把它發表在本地的《喀山信使》上——用俄文，登在一本默默無聞的期刊上。幾乎沒人讀到，讀到的人多半還嗤之以鼻。
他並非完全孤立。在匈牙利，雅諾什·博亞伊獨立地到達了一模一樣的幾何，並於 1832 年發表。而那位台柱般的卡爾·弗里德里希·高斯，更早幾年就在私下想透了類似的想法——但他害怕爭議，始終不敢發表。所以這份功勞是真正共享的：羅巴切夫斯基首先付印，博亞伊是獨立的共同發現者，高斯則是沉默的先驅。對羅巴切夫斯基的認可，多半是在他身後才到來的。
它為何重要
這打破了一個兩千年的假定：歐幾里得幾何是唯一真正的幾何，是烙在宇宙裡的。一旦數學家看到其他自洽的幾何也能存在，他們便被解放了，可以去發明、去研究任何不自相矛盾的體系——而這正是現代數學所做的大部分事。後來愛因斯坦需要描述引力時，羅巴切夫斯基所參與開啟的那種彎曲的、非歐幾里得的幾何，已在那裡等候，隨時準備成為時空本身的形狀。
一個可以想像的畫面
想像在一張平平的紙上畫線，對照在一個馬鞍內側、或一片皱巴巴的生菜葉上畫線。在平紙上，歐幾里得說了算：兩條平行線永遠保持同樣的間距。而在馬鞍那彎曲的面上，原本「平行」的線會越離越開，三角形的三個角加起來不足 180°。羅巴切夫斯基的幾何，就是那種無盡彎曲、馬鞍般的面的幾何——完全合乎邏輯，只是不是平的。
它的位置
羅巴切夫斯基的突破推開了一扇門。進門的是伯納德·黎曼——他於 1854 年把幾何推廣到任意維度的彎曲空間；接著是阿爾伯特·愛因斯坦，他的廣義相對論把時空的形狀變成了引力的根源——宇宙的幾何，由其中所包含的物所決定。從「幾何是固定而顯而易見的」，到「幾何是諸多選擇之一、待與世界驗證」的躍遷，就從這裡開始——一位偏遠的俄國教授，敢於否定歐幾里得。
平行線理論裡的缺口
相割線與不相割線（第 16 節）
All straight lines which in a plane go out from a point can, with reference to a given straight line in the same plane, be divided into two classes — into cutting and not-cutting.
平行角的表現（第 23 節）
角的方程（第 36 節）
tan ½ Π(x) = e^{−x}