論與四元數理論相關的一類新的虛量
添上第四個維度，空間中的方向便能相乘——也能被轉動。
十九世紀一次沿都柏林運河的散步，與你的手機「知道自己朝哪個方向」，能有什麼關係？關係大著呢。
可以轉動的數
普通的數住在一條線上。複數住在一張平面上，而乘上一個複數，能讓一個點旋轉起來——這讓它們在紙面上描述「旋轉」時再合適不過。哈密頓想把同樣的魔法搬進三維空間，好讓東西能在立體中被轉動。卡了許多年之後，他意識到：這個戲法需要第四個維度，外加一樁奇怪的犧牲——在他的新數裡，a × b 不再等於 b × a。次序，舉足輕重——正如你轉動一個物體時那樣：先向左、再向上，跟先向上、再向左，落點並不相同。
橋上的那道公式
到 1843 年，愛爾蘭首屈一指的數學家威廉·羅恩·哈密頓，已為「如何相乘三元數組」苦苦纏鬥多年。10 月 16 日，他與妻子沿皇家運河走向愛爾蘭皇家學會的一場會議，答案在一瞬間擊中了他——他後來對兒子說，那一刻「一顆火花迸射而出」。生怕忘記，他掏出小刀，把那道關鍵的公式刻在了經過的布魯姆橋的石頭上：i² = j² = k² = ijk = −1。刻痕早已磨滅，但一塊銘牌標出了那個地點，數學家們至今每年都要去那裡走一趟「哈密頓之路」。
它為何重要
哈密頓做了一件誰都以為不被允許的事：他造出了一個完整、合理的數系，在其中，乘法的次序會改變答案。這一道「許可」，打開了現代代數——它告訴數學家們：你們可以自由地發明帶著新規則的新系統，只要那些規則自洽。而他那些「四個數」的對象——四元數——後來被證明是描述並複合空間旋轉的、有史以來最乾淨的辦法；這個用途，要到一個世紀之後才變得不可或缺。
翻動一本書
把一本書平放。先繞一根豎直的軸轉 90°，再繞一根水平的軸轉 90°，記下封面朝向哪裡。現在從頭來過，把這兩次轉動的次序調換——書的朝向會落在一個完全不同的地方。旋轉不可交換：次序會改變結果。四元數，就是行為與此一模一樣的數——這正是它們能替旋轉代言的原因。把四元數按一個次序相乘，得到一個最終朝向；調換次序，得到另一個。
它在知識譜系中的位置
哈密頓的四元數，是高斯等人讓其登堂入室的複數的續篇——一個維度變成了四個；也是許多現代數學的前傳：填滿本館後續篇章的矩陣、向量與群論，有一部分正是從它生長出來的。物理學家所畫的向量箭頭、所用的內積與外積，是一代人之後從哈密頓的代數裡鑿出來的。在陰影中沉寂了一個世紀後，四元數隨著電腦轟然歸來——後者恰恰需要它那份「擅長旋轉」的天賦。
i² = j² = k² = ijk = −1
ij = k, jk = i, ki = j; ji = −k, kj = −i, ik = −j.
An electric circuit seemed to close; and a spark flashed forth, the herald (as I foresaw immediately) of many long years to come of definitely directed thought and work…
Nor could I resist the impulse — unphilosophical as it may have been — to cut with a knife on a stone of Brougham Bridge, as we passed it, the fundamental formula with the symbols, i, j, k; namely, i² = j² = k² = ijk = −1, which contains the Solution of the Problem, but of course, as an inscription, has long since mouldered away.