致奧古斯特·謝瓦利埃的信（論方程的可解性）
一個方程能否用根式求解，恰取決於它的對稱群能否被拆解為質數階的步驟。
一個瀕死的二十歲青年，用他生命的最後一夜寫下：為什麼永遠不可能有一個公式去解開所有方程——而就在這件事裡，他發明了關於對稱的數學。
核心想法
對於二次方程，人人都學過一個公式：根可以由係數經過加、減、乘、除和開平方算出來。這種「用根式求解」，對二次、三次（卡爾達諾公式）和四次方程都行得通。三百年來，數學家們苦苦尋找五次方程的同類公式——卻始終沒有找到。
伽羅瓦解釋了這場尋找為何注定徒勞，並把問題轉化成了一個關於對稱的問題。每個方程都藏著一組對稱——即在不擾動其根之間真實關係的前提下，你可以怎樣去重排這些根。伽羅瓦把這組對稱稱為「群」。他證明：公式是否存在，完全取決於這個群能否被拆解成簡單的、質數大小的碎塊。對於不超過四次的方程，它總能被拆開；可一到五次，就會冒出一塊頑固的、拆不開的碎塊——而這，正是一般五次方程沒有公式的原因。
它是如何誕生的
埃瓦里斯特·伽羅瓦是個憤怒、天才而又時運不濟的年輕人。他兩度被法國最頂尖的工程學院拒之門外，兩度把自己的發現呈交科學院，又兩度遭遇丟失，或被以「無法理解」退回。他是動盪巴黎裡一名激烈的共和派，曾因政治入獄，也正在戀愛。
1832 年 5 月 29 日，預料自己將在次日清晨的一場決鬥中喪命——那似乎是一樁為名譽而起的糾紛——他徹夜寫下一封長信給朋友奧古斯特·謝瓦利埃，爭分奪秒地記錄腦中的數學。在頁邊，他潦草地寫下「我沒有時間了」。拂曉他赴約，腹部中槍，於 5 月 31 日去世，年僅二十。謝瓦利埃在當年九月刊出了這封信，但要等到 1846 年劉維爾為之奔走，世人才終於明白失去的是什麼。
它為何重要
伽羅瓦所做的，遠不止了結一個三百年的老問題。他發明了一整套思考方式：要研究一個對象，就去研究它的對稱。這個想法——群論——如今貫穿了全部數學與物理，從晶體的結構，到自然界的守恆定律，再到為網上資訊保密的那些規則。而他所構建的那件具體工具——伽羅瓦理論——至今仍能告訴我們哪些古典幾何難題是不可能的：你無法用直尺和圓規三等分任意一個角，也無法把一個立方體倍積，而伽羅瓦的推理，正是其中的緣由。
一個可以想像的畫面
把「解出根」想像成打開一個密碼保險箱——但你被允許的動作只有開平方、開立方等等，每一種動作都對應轉一下表盤。方程的對稱群，就像這把鎖內部的機械。如果這套機械是由一摞小小的、質數大小的鎖簧疊成的，你就能用手上的動作把它們一顆顆彈開。可對於五次方程，裡頭有一顆鎖簧根本沒有更小的部件——六十個位置，無法再分——任何根式「轉動」的序列，都永遠撬不開它。保險箱，永遠關著。
它的位置
拉格朗日、魯菲尼，以及挪威人尼爾斯·阿貝爾，都曾繞著這個問題打轉；阿貝爾在 1824 年證明了一般五次方程沒有根式公式，而伽羅瓦解釋了更深的「為什麼」，並把一件新工具交到了數學手中。從他的群裡，流出了若爾當、戴德金與諾特的抽象代數，流出了現代物理的對稱原理，又——經由橢圓曲線的伽羅瓦群——在一百五十多年後流向了費馬大定理的證明。寥寥數頁，寫於燭火之下，重組了一門科學。
開篇——三篇論文
群的本徵分解
可解性判據
Si chacun de ces groupes a un nombre premier de permutations, l'équation sera soluble par radicaux; sinon, non. [If each of these groups has a prime number of permutations the equation will be soluble by radicals; if not, not.]
結尾——最後的文字
Après celà il se trouvera, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis. [After that there will, I hope, be people who will find profit in deciphering all this mess.]