熱的解析理論
再參差的形狀，也不過是一群平滑正弦波的總和——是熱，教會了我們聽見它們。
把任何一段複雜的波動拆開，你會發現：它從頭到尾，都是一摞簡單、純淨的波疊出來的。
核心想法
傅立葉起初想做的，是一件很實際的事：預測熱量如何在一根金屬棒裡擴散、又如何隨時間冷卻。要解這個問題，他需要一種辦法，來描述任意一種起始的溫度分佈——這裡熱、那裡冷，還帶著陡峭的邊緣。
他的答案，結果遠比「熱」本身要宏大。他證明：任何一種分佈，無論多麼參差，都能由一組光滑、重複的波——正弦波——以不同的快慢與大小疊加而成。少數幾道波，給出一個粗略的近似；多加幾道，近似就更銳利。每一道波，都是一個「純音」，而「用哪些音、各自多響」的這份配方，就是我們今天所說的傅立葉級數。
它是如何誕生的
傅立葉的一生跌宕——他隨拿破崙遠征埃及，治理過一個法國行政區，許多研究都是在偷來的時間裡做成的。1807 年，他向法國科學院遞交了一份論文，宣稱：哪怕帶有跳變的函數，也能寫成正弦與餘弦之和。評審的那些大數學家——拉格朗日就在其中——並不信服；他們認為，光滑的波永遠疊不出帶尖角的東西。
大體上，傅立葉是對的，他們錯了——儘管要弄清他這些和「在何時、以何種方式」才規矩，還得等後來一個世紀的數學家。他的專著最終在 1822 年問世，而這個想法，悄然征服了整個科學。
它為何重要
一旦你能把任意訊號拆成純音，你就能測量它們、儲存它們、改動它們，再把訊號重建出來。這正是隱藏的機械裝置——藏在把一首歌壓成 MP3、拍一張 MRI、清理一段嘈雜錄音、把資料從空中發出去的背後。傅立葉的熱問題，交給現代世界一種眼光：去看見萬事萬物內部的那些頻率。
一個可以想像的畫面
想像一個和弦。一撥下去，你聽到的是一個聲音——但它其實是好幾個純音同時奏響，而訓練有素的耳朵（或一個調音 App）能把每一個都叫出名字。傅立葉的論斷是：每一個訊號，都像那個和弦——外面是單一的形狀，裡面是一摞純音。分析它，就是寫下它的樂譜；重建它，就是把那些音重新一起奏出。
它的位置
十八世紀那道振動的弦的難題，早已暗示過波可以疊加，但真正把它變成一件通用工具、並繫結到物理上的，是傅立葉。從這裡，一條線通向馬克士威的波與普朗克的能量包，又徑直伸入資訊時代：當香農度量一條通道的容量時，當今天的音訊與影像編解碼器運轉時，牠們說的，都是傅立葉那套關於頻率的語言。
Heat, like gravity, penetrates every substance of the universe, its rays occupy all parts of space. The object of our work is to set forth the mathematical laws which this element obeys.
Profound study of nature is the most fertile source of mathematical discoveries.
it remains incontestable that separate functions, or parts of functions, are exactly expressed by trigonometric convergent series, or by definite integrals.
Mathematical analysis is as extensive as nature itself; it defines all perceptible relations, measures times, spaces, forces, temperatures; this difficult science is formed slowly, but it preserves every principle which it has once acquired; it grows and strengthens itself incessantly.