關於位置幾何之一問題的解答
能否一次走遍柯尼斯堡的七座橋、每座恰好一次？歐拉的「不能」開創了圖論。
七座橋，一座城，一個簡單的挑戰：把每座橋都恰好走一次。那位證明「辦不到」的人，悄然發明了一整門新的數學。
核心想法
古老的普魯士城市柯尼斯堡，坐落在一條河的兩岸、又環抱著河中的一座島，全由七座橋縫合在一起。當地流行的週日挑戰，是穿城走一圈、把每座橋都走一次、且只走一次——任何一座都不許重複。沒人走得通，卻也沒人說得清為什麼。
萊昂哈德·歐拉——他那個時代最高產的數學家——意識到街道的佈局根本無關緊要。要緊的只有一件事：每塊陸地連著多少座橋。他證明：要讓這趟散步可行，幾乎每一塊陸地都得連著偶數座橋——而柯尼斯堡的每一塊，連的都是奇數座。於是散步不可能辦到，而他無需離開書桌，就能把它證明出來。
它是如何誕生的
這道謎題大約在 1735 年傳到歐拉手中，當時他正在聖彼得堡科學院。起初他覺得它配不上嚴肅的數學——是個謎語，而非定理。但解它，逼著他發明出一種思考方式：用他的話說，是位置要緊、而距離不要緊的問題——一門萊布尼茲命過名、卻無人發展過的「位置幾何」。
歐拉沒有去試那成千上萬條可能的路線，而是找到一條計數規則，一舉判定了問題，並意識到：無論哪座城、有多少座橋，它都同樣管用。他在 1735 年把它呈給科學院；論文於 1741 年印行。數學家們如今把圖論的誕生，定在這篇論文。
它為何重要
歐拉表明：你可以把某件事「不可能」乾淨、確定地證明出來；而這證明，能丟開一個問題幾乎所有具體的東西，只留下它連接的圖樣。這一手——拋掉距離與形狀、去研究純粹的結構——一下子開啟了兩門學科：圖論，網路的數學；以及拓撲學，不靠測量的形狀之數學。
一個可以想像的畫面
想像一幅連點成形的圖畫，你想用一筆連續的筆畫把它描完，既不抬筆、也不讓任何一條線被重描兩次。試一下，你會摸到那條規則：每一個你經過的點，都需要一進一出兩條線——也就是偶數條線。只有起點和終點那兩個點，才可以是奇數條線。如果有三個或更多的點是「奇數」，一筆就畫不成。柯尼斯堡是四個奇數點——沒指望。
它的位置
歐拉寫下它時，正值一門關於結構的新數學破曉。同樣的直覺——留住連接、丟開測量——後來長成了拓撲學，也長成他自己那條把任何立體的頂點、稜、面聯繫起來的公式 V − E + F = 2。今天每一個替你找路的地圖軟體、你叫得出名字的每一張網路，都是普魯士小城裡七座橋的遠房後代。
§1 · 位置幾何
The branch of geometry that deals with magnitudes has been zealously studied throughout the past, but there is another branch that has been almost unknown up to now; Leibniz spoke of it first, calling it the “geometry of position” (geometria situs).