物理學 1928

電子的量子理論

保羅·狄拉克（P. A. M. Dirac）

逼電子的波動方程服從相對論——自旋，乃至反物質，便從數學中自行湧現。

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In depth · the introduction

要求一個方程同時尊重量子力學與愛因斯坦的相對論——它回敬你的，是一個必然包含反物質的宇宙。

把這個想法拆開看

到 1928 年，物理學家已經知道電子會「自旋」——它自帶一點點磁性——但他們只是把這個事實手工地添進方程裡。狄拉克想要一個同時服從量子力學與狹義相對論的方程，並堅持它必須取某種簡潔的形狀。當他找到那個合身的方程時，電子的自旋與它的磁性，早已不請自來地待在裡面了。

同一個方程，還藏著一個固執的第二答案。正如問「什麼數的平方等於四」會同時得到 +2 和 −2，狄拉克的能量方程也給出一個正答案，和一個與之相等的負答案。他無法在不破壞數學的前提下扔掉那個負的——於是他最終斷定：它描述的，是電子的一個真實的、相反的孿生兄弟。那，就是反物質。

它從哪裡來

保羅·狄拉克當時二十五歲，是劍橋聖約翰學院裡一位以沉默寡言著稱的人，靠著追逐數學之美來工作。他不喜歡旁人正在用的那個相對論性方程，便動手去造一個更好的。他在 1927 年的聖誕節期間寫就結果，並在 1928 年 1 月 2 日投出。

那些負能量的答案，困擾了他許多年。1931 年，他做出一個大膽的論斷：在某處，必定存在一個「反電子」，一個質量與電子相同、電荷卻相反的粒子。1932 年，卡爾·安德森在拍攝宇宙射線時，恰好捕捉到這樣一條徑跡——正子。狄拉克分享了 1933 年的諾貝爾獎；他幾乎只憑著對「正確方程」的一份堅持，就預言了一種全新形態的物質。

它為何重要

這是量子力學與相對論第一次真正的聯姻，也是現代物理運作方式的範本。狄拉克從純數學中，拽出了一種此前無人想像過的物質，然後眼看著世界印證了它。這個教訓——一個足夠深刻的方程，能在任何人看見之前，就告訴你什麼必定存在——一路延伸，直通幾十年後對希格斯玻色子的預言。

平方根有兩個答案

讓計算機算四的平方根，客氣的答案是 2。可 −2 也一樣成立：(−2)×(−2) 同樣等於 4。在狄拉克的相對論性方程裡，能量也以同樣的方式坐在一個平方根底下，於是對任何一種運動，都有一個正能量，和一個鏡像般的負能量。把那個負的扔掉是不被允許的——它是一個貨真價實的解。大自然使用它的辦法，就是造出一個反粒子。拖動下方的工具，看那條能量線如何在零以下長出它的孿生兄弟。

它落在哪裡

薛丁格 1926 年的方程——本館已有收錄——把一個慢速電子描述得很美，卻忽略了相對論。狄拉克的方程，正是它的相對論性繼承者，也是通往量子場論與標準模型的門戶。它屬於一條譜系：從愛因斯坦 1905 年的相對論，穿過那場量子革命，直到現代物理那個一再出現、在希格斯身上又見到的習慣——讓一個被信任的方程，去預言世界尚未找到的粒子。

The original document

Original source text

P. A. M. Dirac · Proc. R. Soc. Lond. A 117, 610–624 · received 2 January 1928

The problem

The new quantum mechanics, when applied to the problem of the structure of the atom with point-charge electrons, does not give results in agreement with experiment. The discrepancies consist of "duplexity" phenomena, the observed number of stationary states for an electron in an atom being twice the number given by the theory.

That doubling was electron spin. By 1928 it had been forced into the theory by hand — Goudsmit and Uhlenbeck's spinning electron (1925), and Pauli's 2×2 spin matrices added to the wave equation (1927) — but no relativistic equation produced it on its own.

Dirac's requirement

Dirac rejected the second-order relativistic equation (now called Klein–Gordon) because the general transformation theory of quantum mechanics demanded a wave equation linear — first order — in ∂/∂t. To keep faith with relativity, which treats time and space alike, it then had to be first order in the space derivatives too. As the paper shows, that single demand forces the coefficients to be matrices and the wavefunction ψ to carry four components.

It appears that the simplest Hamiltonian for a point-charge electron satisfying the requirements of both relativity and the general transformation theory leads to an explanation of all duplexity phenomena without further assumption.

What the equation gives

From the four-component equation, the electron's spin of ½, its magnetic moment (a g-factor of 2), and the fine-structure splitting of the hydrogen spectrum all follow with no extra postulate — the central triumph of the paper.

[ … ]

The negative-energy difficulty

Half of the equation's solutions carry negative energy, with no lower bound — a difficulty this paper raises but does not resolve. Dirac resolved it only in later work: a filled "sea" of negative-energy states (1930) whose vacancies he predicted in 1931 to be a positive anti-electron. Carl Anderson found that particle — the positron — in cosmic-ray tracks in 1932.

St John's College, Cambridge · January 1928