幾何學（La Géométrie）
讓代數與幾何聯姻：曲線化為方程，點化為一對數。
在笛卡兒之前，代數與幾何是兩個互不相干的世界。他在它們之間架起一座橋——而我們從此一直走在橋上。
核心想法
笛卡兒的想法，就是你第一次畫座標圖時遇到的那個。取兩條在一角相交的線；現在，紙上任何一個點，都能用兩個數來命名——往右多遠、往上多遠。這一對數，就是這個點的座標。神奇之處在於：一個形狀不再只是一幅圖，而成了數必須遵守的一條規則。圓變成了「x² + y² = 9」；拋物線變成它自己那條短短的方程。原來，幾何與代數是同一門學問的兩種看法。
它是怎麼發生的
1637 年，笛卡兒出版了一本不厚的書《方法論》，談如何清晰地思考。他在書後附了三篇科學論文作為示範；其中最後一篇《幾何學》，正是改變了數學的那一篇。他用法文而非學界的拉丁文寫作，演示了如何把一道頑固的幾何問題——一道連古希臘人都纏鬥過的問題——化成一個你只需求解的方程。他並非全然孤獨：一位名叫皮埃爾·德·費馬的法國律師，在同一時期、從另一個方向，撞上了同一個想法。在兩人之間，座標幾何誕生了。
它為什麼重要
一旦曲線成了方程，你就能對它做計算。你可以問兩條曲線在哪裡相交、曲線在哪裡最陡，並用代數而非巧妙的作圖來回答。這讓下一次飛躍成為可能：一代人之後，牛頓與萊布尼茲用笛卡兒的網格發明了微積分——那門描述「變化」的數學，支撐著整個物理學。你這輩子見過的幾乎每一張圖，從體溫曲線到股價到物理示意圖，都活在他所搭起的這個平面上。
一個日常的畫面
想像一座按街區鋪開的城市。對朋友說「向東三個街區、向北兩個街區」，他就能走到唯一的一個路口——那就是一組座標。現在，把所有恰好離市中心廣場五個街區的路口都描出來：你走出的是一個圓，而「離廣場五個街區」就是它的方程。笛卡兒的洞見是：方向（代數）與你走出的形狀（幾何），是同一份資訊換了兩身行頭。
它在知識譜系中的位置
笛卡兒站在歐幾里得與牛頓、萊布尼茲之間。歐幾里得的幾何（也在本館）是用直尺與圓規作圖建起來的；而牛頓與萊布尼茲的微積分，則由他促成。他承接了文藝復興新興的符號代數，把它焊接到古老的曲線幾何之上。這道接縫接得太好，我們便用他的名字來稱呼它：每一張「笛卡兒」網格，地圖或螢幕上的每一個座標，都源自這一篇文章。
第一卷——僅用直線與圓即可作出的問題
Any problem in geometry can easily be reduced to such terms that a knowledge of the lengths of certain straight lines is sufficient for its construction.
… taking one line which I shall call unity in order to relate it as closely as possible to numbers, and which can in general be chosen arbitrarily, and having given two other lines, to find a fourth line which shall be to one of the given lines as the other is to unity (which is the same as multiplication).
第二卷——論曲線的本性
I could give here several other ways of tracing and conceiving a series of curved lines, each curve more complex than any preceding one, but I think the best way to group together all such curves and then classify them in order, is by recognizing the fact that all the points of those curves which we may call 'geometric,' that is, those which admit of precise and exact measurement, must bear a definite relation to all points of a straight line, and that this relation must be expressed by a single equation.