受線性不等式約束的線性函數最大化
線性規劃的最優解，永遠落在一個「角」上——於是沿著角走，便能找到它。
每一條運轉良好的供應鏈、每一張航班時刻表背後，都藏著 1947 年的一個洞見：最優的方案，永遠住在一個角上。
核心想法
想像你要在種種限制下定一個計畫——一筆預算、若干小時、一批原料——而你想從中榨出最大的成效。如果一切都是「線性」的（雙倍的料，雙倍的錢；雙倍的工，雙倍的產出），那麼這些規則就劃出了「你被允許的全部方案」所構成的一塊多邊形，而你的目標，則朝著它的某個方向。
喬治·丹齊格證明了一件既出人意料、又極其有用的事：那個最優的方案，絕不會含含糊糊地落在中間——它永遠落在這塊形狀的一個角上。於是，你不必去試無窮多種可能，只需從一個角跳到另一個角，一路向上，直到沒有相鄰的角更好為止。那個角，就是答案。他把這套步驟稱為單純形法，它讓「找出最優方案」成了機器真能辦到的事。
它是如何誕生的
1947 年，丹齊格是美國空軍的一位數學家，研究如何安排整支軍隊的訓練、補給與部署——當時的規劃者稱之為一份「program（方案）」。他把這些難題提煉成單一的數學形式，再發明了單純形法去求解它。那年十月，當他向偉大的約翰·馮·諾伊曼描述這個問題時，馮·諾伊曼一眼便認出了它的骨架：那正是他剛剛寫成一本書的賽局理論裡、同樣的極小極大結構——他當場就勾勒出了它那隱藏的孿生兄弟，「對偶」。
圍繞它，有一團署名的糾葛。在蘇聯，列昂尼德·康托洛維奇早在 1939 年就已找到線性規劃，但他的工作在西方多年無人知曉。當 1975 年的諾貝爾經濟學獎表彰線性規劃時，獎項授予了康托洛維奇與佳林·庫普曼斯——卻沒有丹齊格，而正是他的演算法，讓這個領域得以實用；庫普曼斯認為這不公平。（丹齊格也是一則著名傳說背後那個真實的學生：讀研時他遲到進教室，把黑板上的兩道題當作業抄了下來、並解了出來——事後才知道，那是統計學裡兩個著名的未解難題。）
它為何重要
幾乎任何「我們如何最好地利用手上所有」這種形式的問題，都能寫成一個線性規劃，而單純形法第一次解出了其中海量的問題。它讓規劃——為軍隊、為工廠、為航空公司、為電網、為整個經濟體——從憑猜測與經驗法則，變成了一項計算；而這項計算，還會順帶告訴你：你所面對的每一份稀缺資源，究竟值多少。
一個可以想像的畫面
想像一塊由筆直的牆圍起來的、平面的田地，再把整塊田輕輕往某個方向一傾。放開一顆球，它滾下坡、停下來——絕不會停在空曠的中央，而是卡進兩堵牆相交的一個角裡。正因為牆是直的、坡也是直的，那個最低點（反過來看，就是最高點）必定是一個角。單純形法，無非是一種沿著圍牆、一路走到那個角的巧辦法，而不必去搜遍整塊田。
它的位置
線性規劃，生長自一支古老的、關於線性不等式的數學（一個世紀前傅立葉就曾擺弄過它），又與馮·諾伊曼和摩根斯特恩的賽局理論一同到來——那同一個極小極大的念頭，戴著兩頂帽子。從這裡，一條線通向貝爾曼的動態規劃、通向卡馬卡的內點法，並匯入今天悄然驅動著物流與機器學習的最佳化之中；而「一條約束值多少」的念頭，那個影子價格，則成了經濟學日常語言的一部分。