數學 1821

皇家綜合理工學院分析教程

奧古斯丁-路易·柯西

微積分，被重建在一個誠實的想法之上：極限。

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In depth · the introduction

有一百五十年，微積分運轉得無比出色，卻站在一個誰也說不太清的想法之上——「無窮小」的數。柯西用一個誠實的定義，取代了這份魔法：極限。

核心想法

微積分談論的，是那些永遠在縮小、或永遠在靠近的量——一條曲線在某點的斜率、它下方的面積、無窮多個微小碎片之和。發明它的牛頓與萊布尼茲，是靠「無窮小」來推理的：那是一種比任何實數都小、卻又不為零的數。答案是對的，可沒人說得清這些數究竟是什麼。

柯西的對策，是不再去談一個固定的微小數，轉而去談一個「趨近的過程」。一個變量「有極限」，是指它能靠近、並一直靠近某個值，近到你所能要求的任何程度——你儘管報出一個容差，無論它多小，那變量最終都會落進去。由這一個想法，他重建了連續（沒有突然的跳躍）、收斂（一個無窮和最終安定下來），以及整個微積分——如今，它有了你可以核查的理由，而不只是你不得不信的結果。

它是如何誕生的

奧古斯丁-路易·柯西是一位年輕的工程師，虔誠而篤信宗教，政治上保守，後轉任巴黎綜合理工學院的教授——那是為法國培養工程師與軍官的精英學府。他受命給一年級學生講授微積分，卻發現這門學問一團亂：威力巨大，卻處處充斥著對無窮小的含糊訴諸，以及那些有時會算出荒謬結果的操作。

於是在 1821 年，他把自己的講義寫成一本書——《分析教程》——並從頭重建了它的根基。據說，學生們抱怨它太過嚴格、太過拖沓。但柯西已經認定：一個你無法核查的證明，根本就不算證明——而正是這份信念，重塑了「做數學」究竟意味著什麼。

它為何重要

在柯西之前，微積分是一台宏偉卻無人能完全證成的機器。在他之後，它有了根基：你可以證明它的定理，而不只是去相信。這條標準——先精確地定義你的術語，再證明由此推出的一切——蔓延到了整個數學。每一個理工科學生都會遇到的「ε–δ」定義，正是他的、被打磨過的版本。就連他的錯誤也頗有成效：他一條有瑕疵的定理，曾推動他人去發現兩類收斂之間那個至關重要的區別。

一個可以想像的畫面

想像一個靶子，一圈圈越畫越緊、圍著正中的靶心。有人向你挑戰：「你能把每一發都打進這個圈裡嗎？」你回答：「讓我站到離線這麼近，就能。」他畫出更緊的一圈；你便往前再站近些；你依然做得到。一個量「有極限」，恰恰是指：無論他能畫出多緊的圈，你都能找到一個站立的距離，使每一發都落在圈內。極限，就是那個你其實永遠不必真正命中的靶心；你只需能在被要求時，任意地靠近它。

它的位置

柯西站在微積分故事的樞紐上。他身後，是牛頓與萊布尼茲——他們在十七世紀造出了這台機器，卻把它的齒輪留得神祕莫測。他身前，是魏爾斯特拉斯——他把柯西的文字化作滴水不漏的符號；還有戴德金與康托爾——他們構造出了柯西的極限暗中所依賴的那條實數軸。這條嚴格性的線索一路向前，延伸到哥德爾關於「證明本身能觸及什麼」的追問——那是本館的另一份文獻。今天，你所計算的每一個極限、所寫下的每一句「當 x 趨於」，都是柯西的。

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緒論——變量與極限

Augustin-Louis Cauchy · Cours d'analyse · 1821 · Préliminaires

On nomme quantité variable celle que l'on considère comme devant recevoir successivement plusieurs valeurs différentes les unes des autres.

(A variable quantity is one that we consider as receiving, in succession, several values different from one another.)

Lorsque les valeurs successivement attribuées à une même variable s'approchent indéfiniment d'une valeur fixe, de manière à finir par en différer aussi peu que l'on voudra, cette dernière est appelée la limite de toutes les autres.

(When the values successively attributed to a variable approach a fixed value indefinitely, so as to end by differing from it by as little as one wishes, this last value is called the limit of all the others.)

無窮小

Cours d'analyse · 1821 · Préliminaires

Lorsque les valeurs numériques successives d'une même variable décroissent indéfiniment, de manière à s'abaisser au-dessous de tout nombre donné, cette variable devient ce qu'on nomme un infiniment petit ou une quantité infiniment petite. Une variable de cette espèce a zéro pour limite.

(When the successive numerical values of a variable decrease indefinitely, so as to fall below every given number, that variable becomes what one calls an infinitely small quantity, or an infinitesimal. A variable of this kind has zero for its limit.)

連續性（第二章）

Cours d'analyse · 1821 · Ch. II, § 2 · Des fonctions continues

la fonction f(x) sera, entre les deux limites assignées à la variable x, fonction continue de cette variable, si, pour chaque valeur de x intermédiaire entre ces limites, la valeur numérique de la différence f(x + α) − f(x) décroît indéfiniment avec celle de α.

… un accroissement infiniment petit de la variable produit toujours un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même.

(… an infinitely small increase in the variable always produces an infinitely small increase in the function itself. — Cauchy's own restatement of continuity.)

Augustin-Louis Cauchy · Professeur d'Analyse à l'École Polytechnique · Paris, 1821