論代數方程：證明五次一般方程不可（根式）求解
五次一般方程，沒有根式解的公式。
整整 250 年，數學家們苦苦尋找一個能解任意五次方程的公式。一個 21 歲的挪威人卻證明：他們追逐的那個公式，根本不可能存在。
核心想法
你大概學過二次方程的求根公式：把像 x² + bx + c = 0 這樣的方程裡的數字代進去，答案就出來了——它由這些數字，經加、減、乘、除與開平方根搭成。三次方程（x³……）與四次方程（x⁴……）也有對應的（更繁複的）公式，都是在十六世紀找到的。
順理成章的下一步，就是為五次方程——即五次的方程——找一個公式。一代又一代人去試，都失敗了。阿貝爾道出了原因：根本沒有這樣的公式，也不可能有。對於五次及更高次的方程，它們的根，在一般情形下，根本無法僅用那些熟悉的運算與開方寫出來。他不是沒找到這個公式——他證明了：誰也永遠找不到。
它是如何誕生的
尼爾斯·亨利克·阿貝爾在挪威的貧寒中長大，他的天賦被一位老師發現，老師出資供他讀書。少年時，他一度以為自己「解出」了五次方程——隨後又抓出了自己的錯誤；而這次失敗，把他引向了一個更深的問題：也許，誰都找不到那個公式的原因，正是它壓根不存在。
一位義大利人保羅·魯菲尼，自 1799 年起便主張過同樣的事，但他的證明留有一個他始終沒能補上的漏洞。阿貝爾把它補上了。1824 年，他自費把證明印成一本六頁的小冊子——為省錢而排得極其擁擠，以至於沒幾個人能讀懂。兩年後，他為一份新創的德國數學雜誌把它完整重寫了一遍。他 26 歲時死於肺結核——恰在遲來的承認終於到來之際。
它為何重要
這是數學頭幾次證明某件事是「不可能」的——不是「我們還沒找到」，而是「它永遠找不到」。這是一種不同的、更艱難的知識。為了證明它，阿貝爾（緊接著還有伽羅瓦）發明了思考方程之解的「對稱性」的方法，它日後長成了群論——今天，這是整個數學、物理與化學的核心語言之一。
一個可以想像的畫面
把它想成一座迷宮，裡頭你唯一被允許的動作，是那些「根式」動作：加、減、乘、除，以及開方。對於二、三、四次方程，總有一條路，只用這些動作，就能從係數走到答案。阿貝爾卻證明：對於一般的五次方程，答案待在一個房間裡，而那個房間根本沒有任何一扇門，是這些動作所能抵達的。答案是存在的——每個這樣的方程確實都有五個根——但任何一串被允許的步驟，都永遠走不到它跟前。
它的位置
解方程，是數學最古老的線索之一，從巴比倫的泥板，一路延伸到攻克三次與四次方程的文藝復興義大利人。阿貝爾終結了尋找五次公式的征程；埃瓦里斯特·伽羅瓦——又一位悲劇性的年輕天才，20 歲死於決鬥——則精確解釋了究竟哪些方程可解、哪些不可解，從而創立了伽羅瓦理論。他們那基於對稱性的思考方式，長成了群論；它後來讓物理學家得以描述自然界的種種對稱，也支撐著現代密碼學。
小冊子與它的主張
Mémoire sur les équations algébriques, où l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré.