拿著地圖，卻在大樓裡迷了路
想像你在一棟大辦公樓裡醒來，手裡握著一張完美的平面圖。你知道每條走廊、每扇門、每段樓梯——可你依然不知道自己正站在哪個房間。地圖回答的是「世界長什麼樣」，卻回答不了「我此刻在哪裡」。後面這個問題，正是定位的全部工作：在一張機器人已經信任的地圖裡，算出它自己的位姿——它的位置，以及它正朝著哪個方向。
請注意，定位的前提是地圖已經給定。這正是它與更難的「邊走邊建圖」問題的區別——後者叫做SLAM（同步定位與建圖）。在定位裡，地圖是固定且可信的——常常是一張佔據柵格地圖：一塊細密的棋盤，每個格子被標為空閒、被佔據或未知。機器人唯一的謎題，是它自己的所在。
為什麼光數輪子轉了多遠還不夠
輪式機器人的第一反應，是靠數輪子轉了多少圈來追蹤自己。如果知道輪子向前滾了多少公分，就能把這段位移加到上一個已知位姿上，更新自己的猜測。這種對運動的累加叫做里程計；而只憑自身運動、不借助任何外部參照來推算位置的更廣做法，叫做航位推算。
麻煩在於，每一步都會帶來一點點誤差，而這些誤差永遠不會相互抵消——它們只會累積。輪子在濕磁磚上打滑、某個輪胎氣壓略低於另一個、於是走過的距離也略短、地面有一點緩坡。每個小毛病都很微小，但里程計不斷把新的位移疊加到一個已經有偏差的估計之上，於是猜測就慢慢偏離真相。這種持續累積叫做漂移。輪式編碼器的量化會再疊加一點感測器雜訊，但真正的禍首，是系統性誤差被一步又一步地積分起來。只靠里程計跑得足夠久，機器人可能信心十足地認定自己在廚房，實際卻停在走廊裡。
解藥是向外看。像雷射雷達這樣的測距感測器會掃過房間，報告到附近牆面的距離。這些測量可以拿去和地圖核對：如果機器人真的站在它以為的位置，那麼它看到前方三公尺處的牆，就應當對上地圖上畫在前方三公尺處的牆。當讀數與地圖不符，機器人就抓住了自己的漂移，從而修正猜測。於是定位就成了一場持續的拉鋸：一邊是會漂移的運動估計，一邊是把估計拉回地圖上的感測器讀數。
一團猜測，投票投出真相
機器人如何同時兼顧漂移與修正？最直觀的答案之一，是蒙地卡羅定位。機器人不去押注唯一的最佳猜測，而是把成百上千個「猜測的位姿」撒滿整張地圖。每個猜測都是一個微小的假設——「也許我在這裡，朝著這個方向」——而這一大群猜測合起來，就叫做粒子濾波器。每一個猜測就是一顆粒子。
這個濾波器反覆運行一個簡單的三拍循環。每一拍都很廉價，神奇之處在於每秒重複許多次。
- 移動每個猜測。機器人向前走時，就把所有粒子按同一里程計估計向前推——再加一點隨機抖動，因為運動本身就不確定。整團粒子雲便跟著機器人挪動。
- 給每個猜測打分。拿最新的雷射雷達掃描，對每顆粒子發問：「若機器人真站在這裡，這些距離讀數會和地圖吻合嗎？」凡是想像出的視野與真實讀數吻合的粒子，就獲得高權重；凡是本該看見牆、感測器卻看見空曠的粒子，就只得低權重。
- 重採樣。按權重比例抽取粒子，組成新的一群——吻合好的猜測被複製許多份，吻合差的往往消失。讀數排除之處，粒子雲變稀；讀數契合之處，粒子雲變密。
當機器人沿走廊前進、反覆運行這個循環時，令人欣慰的事情發生了：散開的粒子雲會收攏。隨著越來越多的掃描排除越來越多的錯誤位置，倖存的粒子越擠越緊，最終聚攏在唯一能解釋感測器所見一切的那個位姿周圍。機器人就此從「我可能在任何地方」走到「我就在這裡」——靠的不是某一次聰明的計算，而是讓眾多猜測彼此競爭、讓證據來投票。這正是遞迴貝氏估計的一張具體面孔：對自己身處何方保有一個信念，並用每一次新測量去精煉它。
追蹤已知起點，與「被綁架的機器人」
並非所有定位問題都一樣難，差別全在於起步時你知道多少。簡單的一類是位姿追蹤：你已大致知道機器人起點在哪，只需在它移動時讓這個估計保持準確。此時粒子一開始就能聚成緊緊一團，圍在已知的起始位姿周圍，而整個循環的全部任務，就是推著這團粒子前進、抵抗漂移。
困難的一類是全域定位：機器人醒來時完全不知身在何處，正像我們那位迷失在辦公樓裡的人。此時粒子必須一開始就撒滿整張地圖，濾波器得篩遍整個空間，粒子雲才能收攏。蒙地卡羅定位在這裡大放異彩，恰恰因為一大群猜測能同時鋪滿許多房間——若只有一個最佳猜測的估計，連從何起步都無從談起。
最棘手的版本有個外號：被綁架的機器人問題。設想一台已經自信定位的機器人，被人抱起來、放到一個完全不同的地方。它的粒子還全擠在那個舊的、如今已錯的位置，彼此自得地相互附和——卻沒有一顆靠近真相。一個好的定位器，必須察覺到每個猜測忽然都很難解釋感測器讀數，進而有意撒出新粒子，重新搜遍地圖。這尖銳地提醒我們：一團緊湊而自信的粒子雲，並不等於一團正確的粒子雲。