E = mc²：質量與能量本是一體

每個物體裡都藏著一個銀行帳戶

在愛因斯坦之前，質量與能量記在兩本不同的帳上：質量是「有多少東西」，能量是「它能做多少事」。E = mc² 把這兩本帳合而為一。它說，物體的質量本身就是一座巨大而沉默的能量倉庫——它的靜能——哪怕物體紋絲不動，這份能量也安然在場。把一丁點質量乘以 c²（光速的平方），就得到一個驚人的數字，因為在國際單位制裡 c² 約等於 90,000,000,000,000,000。

這條公式從何而來

你不需要繁重的數學就能看清質量為何必定攜帶能量。愛因斯坦 1905 年的論證本身就是一招漂亮的記帳法：讓一個靜止的物體朝相反兩個方向各發出一道等強的閃光。閃光帶走了能量與動量，但物體並不反衝（兩次推力相互抵消）。再要求在一個看著該物體緩緩掠過的參考系裡，動量與能量依然平衡，那麼唯一能讓帳目對得上的辦法，就是物體損失了一點質量——其值恰好等於損失的能量除以 c²。

        before                         after
     +-----------+                  +-----------+
     |  object   |   ===>  <~~~  ~~~>   | object |
     |  mass M   |        light    light |mass M-dm|
     +-----------+                  +-----------+
        (still)        carries E, p     (still, lighter)

   energy lost as light  =  E
   mass lost by object   =  E / c^2     <-- so  E = (dm) c^2

光帶著能量 E 離開；為了讓能量和動量在每個參考系都平衡，物體必須減少質量 dm = E/c²。

靜能與總能量

E = mc² 其實指的是*靜*能——一個不運動的物體所具有的能量。一旦它動起來，便會在此之上額外帶著運動的能量。完整的總能量等於 gamma 乘以靜能，這裡的 gamma 正是時間膨脹裡那個勞侖茲因子。所以 E = mc² 不過是更大圖景中那個特殊的、靜止不動的情形（gamma = 1）。

   total energy:   E = gamma * m * c^2          (gamma = 1/sqrt(1 - v^2/c^2))

   at rest (v=0):  gamma = 1   ->   E = m c^2     <-- the famous one

   moving slowly:  E ~ m c^2  +  (1/2) m v^2
                       \____/    \__________/
                     rest energy   ordinary kinetic energy

在低速下，總能量就是靜能加上中學物理裡熟悉的 ½mv²——相對論把舊答案完整地包含在內。

總方程式

有一條方程式在每個參考系裡都成立，把能量、動量與質量牢牢綁在一起——它就是能量-動量關係。可以把它想成一個直角三角形：總能量 E 是斜邊，而 pc（動量乘以 c）和 mc²（靜能）是兩條直角邊。

          E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2

              E  /|
                / |
               /  |  pc        (energy as the hypotenuse
              /   |             of a right triangle)
             /____|
              mc^2

   p = 0  ->  E = mc^2     (object at rest)
   m = 0  ->  E = pc       (massless particle, e.g. light)

E² = (pc)² + (mc²)² 的勾股形狀。令 p = 0 便回到 E = mc²；令 m = 0 就得到光。

沒有質量，卻能推動東西

光沒有質量——那 E = mc² 豈不是說它的能量為零？不對。E = mc² 只是靜止之物的特例，而光從不靜止。把 m = 0 代入總方程式，就得到 E = pc：一個光子攜帶的能量與它的動量嚴絲合縫地步調一致。無質量絕不意味著無力。陽光會壓在它照到的任何東西上，工程師們更已讓真實的太陽帆單憑光子動量在太空中被推著航行。