第一個解：史瓦西的時空

在戰壕裡寫下的解

1915 年 11 月，愛因斯坦終於發表了廣義相對論的場方程——那是一團糾結的方程，連愛因斯坦本人在內，誰都沒指望能在短期內精確求解。他猜想，人們頂多只能得到緩慢的近似答案。可幾週之內他就錯了。一位名叫卡爾·史瓦西的德國天文學家——當時已年過五十，正在第一次世界大戰的俄國前線服役於德軍——在計算砲彈彈道的間隙讀了愛因斯坦的論文，竟找到了一個*精確*解。1915 年 12 月，他從戰壕裡把它寄給了愛因斯坦。

愛因斯坦大為震驚。「我沒有想到，」他回信道，「竟能用如此簡單的方式給出這個問題的精確解。」他代史瓦西把這一成果提交給普魯士科學院。這個故事有一個悲劇性的尾聲：史瓦西在前線染上一種罕見的自身免疫疾病，於 1916 年 5 月去世，距他的發現僅僅幾個月。他沒能活著看到自己的解會變得多麼奇異——又多麼著名。

它描述什麼：恆星周圍的空間

為了讓方程變得可解，史瓦西做了最樸素而誠實的假設：一團完美渾圓、不自轉、孤零零坐落於其餘空無一物的空間中的物質——沒有別的恆星，也沒有附近的行星。於是史瓦西解給出了那團質量*之外*那片*空*時空的精確幾何。太陽、地球、一顆孤立的恆星——在相當好的近似下，環繞它們各自的彎曲時空，就是史瓦西的時空。

了不起的是，整套幾何只取決於一個數：中心天體的總質量 M。別無其他。兩顆質量相同的恆星——一顆由氫構成，一顆由純鐵構成——它們周圍時空的彎曲方式一模一樣。這個解悄無聲息地交出了廣義相對論最早的幾個真實預言：困擾天文學家數十年的、水星軌道那微小而反常的進動，以及掠過太陽的星光那精確的偏折。下面這段幾何用大白話把它講清楚。

Schwarzschild geometry (every symbol in plain words):

  ds^2 = -(1 - rs/r) c^2 dt^2  +  dr^2 / (1 - rs/r)  +  (angle terms)
          \__________/             \____________/
           time part                space part

  ds   = the spacetime "distance" between two nearby events
  r    = how far you are from the center of the star
  rs   = the Schwarzschild radius  (rs = 2GM / c^2)  -- set by mass M alone
  c    = the speed of light;   G = Newton's gravity constant

  Far away (r much bigger than rs):  1 - rs/r  is almost 1
      -> spacetime looks flat, ordinary, Newtonian.
  Closer in (r shrinks toward rs):   1 - rs/r  shrinks toward 0
      -> time slows, space stretches: gravity's grip tightens.

那個揮之不去的數

請盯住同時出現在時間部分與空間部分裡的那個因子 (1 - rs/r)。這裡的 rs 就是史瓦西半徑，一段完全由質量決定的特殊距離：rs = 2GM/c²。對太陽而言約為 3 公里；對地球而言，約 9 毫米——一顆彈珠那麼大。只要恆星真正的表面位於這個半徑*之外*（太陽的表面遠在其外），就什麼怪事都不會發生；彈珠大小的 rs 深埋在尋常物質內部，凡是你能站立之處，幾何都溫順無比。

可代數偏偏不肯回避。*假如*你能把整團質量擠進它自己的史瓦西半徑之內——把太陽壓縮到 3 公里以下——那麼恰好在 r = rs 處，因子 (1 - rs/r) 變為零，幾何就開始瘋狂作怪：在這套座標裡，時間部分坍縮，空間部分則爆炸式發散。在史瓦西和他同時代的人看來，這像是一樁不切實際的幻想中的數學故障。真實的物體絕不可能被壓得那麼緊吧。於是他們把它擱在了一邊。

潛藏其中的黑洞

人人都當作故障而打發掉的東西，結果竟是一道門。r = rs 處那個曲面，正是我們今天所稱的事件視界——時空中一道單向的邊界。從 (1 - rs/r) 這個因子裡，你可以直接讀出它的含義：當你逼近 rs，對遠處的旁觀者而言，時間（即 dt 部分）被調慢到幾近停滯，而要爬回去所需的代價則無限增大。一旦向內跨過，*每一條*指向「外」的路徑其實都通向更深處。連光也爬不回來。封在底下的那團質量，除了名字，已經是一個黑洞。

1. 1915–16 年：史瓦西寫下渾圓質量周圍的精確幾何；r = rs 處那個怪異曲面被當作毫無意義的座標怪癖。
2. 1930–60 年代：物理學家慢慢意識到，足夠重的坍縮恆星*確實*可以縮到 rs 以內，而那個曲面是一道真實的、單向的視界——並非故障。
3. 1967 年起：這個天體贏得了它的名字——*黑洞*——天文學家也開始發現真實的黑洞，從恆星質量的遺骸，到坐鎮星系核心的巨獸。