一個方程式，一場雙向對話
到現在，你已經見過廣義相對論的大圖景：重力不是一種橫跨空曠空間去拉扯的力，而是時空本身的形狀。一顆行星並不會感到有根繩子把它朝太陽拽過去——它只是沿著一條最筆直的可能路徑，在被太陽彎曲了的區域裡滑行。接下來自然要問的，是工程師式的問題：*給定一些物質，時空究竟會彎多少？*答案是一條單一的關係式，叫做愛因斯坦場方程式。
下面就是它，物理學家在黑板上隨手寫的那種緊湊形式。別被嚇到——讀完這一課，你就能像讀一句話一樣讀懂每一個符號：
8 pi G
G_uv = --------- T_uv
c^4
\___/ \_____/ \___/
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geometry: a fixed matter & energy:
how curved number what is here and
spacetime is (nature's how it pushes/flows
at a point exchange
rate)
LEFT = curvature of spacetime (the stage's shape)
RIGHT = energy, mass & pressure (the actors filling it)右邊：讓時空去感受的東西
從右往左讀這個方程式，因為那才是因果的順序。右邊的符號 T 就是應力-能量張量——一個嚇人的名字，背後卻是個老實的小帳房先生。在空間中的每一點，它把所有能彎曲時空的東西都清點一遍，再把這些總量打包進同一個對象裡。關鍵在於，在愛因斯坦的宇宙裡，能產生重力的不只是質量。
- 能量與質量——最顯而易見的一項。恆星很重，所以它把時空彎得很厲害。（還記得 E = mc^2 嗎：質量*本身*就是能量的一種形式，所以它們記在同一欄。）
- 壓強與張力——同樣質量下，一團熾熱、被擠壓的氣體產生的重力，要比冷的*多*一點點，因為壓強本身也算數。這聽起來很奇異，但在恆星內部和宇宙早期，它起著決定性作用。
- 動量與流動——正在運動或流動的物質帶著動量，而這同樣會塑造時空。一個旋轉的物體甚至會拖著時空一起轉。
左邊：時空彎曲了多少
左邊的符號 G（即「愛因斯坦張量」）是幾何那一側：它精確地度量在同一點上時空彎曲得有多厲害。把它想成對這個問題的回答——「這片區域偏離那種平坦、乏味、什麼都沒發生的時空有多遠？」凡是 G 為零的地方，時空就是平的，一個自由粒子會永遠沿直線漂行。凡是 G 很大的地方，時空就劇烈彎曲，鄰近的路徑會彎折、擠到一起——而這恰恰就是我們*體驗*為強重力的東西。
請注意，這個方程式只把 G 與就在那裡、在那一點上的物質聯繫起來。那麼太陽怎麼會在遠處地球繞行的地方、在它們之間空蕩蕩的真空裡彎曲空間呢？因為場方程式是「黏連的」：一點上的曲率必須與緊鄰一點的曲率平滑地銜接，於是彎曲會一路向外波及空曠的空間，隨距離漸漸淡去——就像在彈簧床正中壓出的一個凹陷，會一路緩緩傾斜直到邊緣。
中間：大自然的匯率
在幾何與物質之間，坐著分數 8 pi G / c^4。這不是一個變量——它是一個單一的固定數值，是把公斤和焦耳換算成曲率的那個匯率。其中藏著兩個著名的常數。大寫的 G 是牛頓重力常數，是設定重力整體強弱的那個旋鈕。而 c^4——光速的四次方——是個坐在分母上的天文級巨大數字。
分母上那個巨大的 c^4，正是重力之所以顯得如此孱弱的原因。它意味著你必須堆起*極其龐大*的能量，才能換來哪怕一絲絲曲率。整個地球——所有的山脉、海洋和熔融的地核——把時空彎曲得如此輕柔，以致它對一顆下落蘋果的作用不過是一聲耳語。唯有真正的質量怪物，比如坍縮成黑洞的恆星，才能把曲率擰到劇烈而清晰可見的地步。
惠勒的口訣：用一句話講完整件事
物理學家約翰·惠勒把整條場方程式提煉成一句令人難忘的話。這就是你該帶出這一課的那一句：
"Spacetime tells matter how to move;
matter tells spacetime how to curve."
-- John A. Wheeler
matter --(curves)--> spacetime
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+-----(steers)----------+
a loop, not a one-way street每一半都對應著方程式的一側。「物質告訴時空如何彎曲」是從右往左讀這個方程式：應力-能量的帳房先生 T 定下幾何 G。「時空告訴物質如何運動」則是其後果：一旦彎曲，時空就引導每一個自由物體，沿著穿過它的那條最筆直的可走路徑前進，這條路線叫做測地線。月球並不是被某種力拽著；它只是在地球鑿出的那道山谷裡，循著它所能走的最直的線前行罷了。