樂觀與後驗：UCB 與 Thompson 抽樣

面對不確定時保持樂觀

探索中最具生產力的單一想法，就是面對不確定時的樂觀（optimism in the face of uncertainty）。規則是：當你不確定某個動作有多好時，就假設它很好並去試。如果它真的好，你就賺到；如果不好，你會很快發現並停手——你的樂觀會自我修正。關鍵在於，樂觀是有方向的：它把智慧體精準地推向它最不了解的事物，而非推向隨機雜訊。

把它和上一篇的無方向方法對比：ε-greedy 是盲目探索；樂觀則是因為不確定而探索。正是這一點改變，讓下面的方法能在拉霸機上獲得可證明的保證。

UCB：對「不確定」發放紅利

信賴上界（Upper Confidence Bound, UCB）把樂觀具體化。為每個動作維護兩個數字：它的估計平均價值，以及一個會隨嘗試次數增加而縮小的 信賴紅利（confidence bonus）。然後對平均 + 紅利這個樂觀估計做貪婪選擇——幾乎沒試過的動作帶著很大的紅利，因此即使目前平均普通也會勝出；一旦試得夠多，紅利消退，就由真正的平均來決定。

# UCB1 for a bandit: pick the arm with the highest optimistic value
for each arm a:
    bonus[a] = c * sqrt( ln(total_pulls) / pulls[a] )
    ucb[a]   = mean_reward[a] + bonus[a]
return argmax(ucb)   # try fewer-pulled arms while their bonus is large

UCB1：紅利會在很少被拉的臂上變大，並以 ln(t)/n 的速率縮小。

a_t = \arg\max_a \left[ \hat{Q}(a) + c\sqrt{\dfrac{\ln t}{N(a)}} \right]

UCB1：選擇估計價值加上置信獎勵之和最大的動作；該獎勵對很少嘗試的動作較大，並隨 ln(t)/N(a) 收縮。

Thompson 抽樣：對信念下注

Thompson 抽樣以另一條不同卻優美簡潔的路徑達到相同目標，根植於貝氏（Bayesian）思維。它不維護單一價值估計，而是為每個動作的真實價值維護一個機率分布（你的 後驗（posterior） 信念）。行動時：從每個動作的分布各抽一個隨機樣本，再選樣本最高的那個動作。

這會自動處理探索。你不確定的動作有寬的分布，因此它的樣本有時會非常高——於是被選中、被嘗試。你確信很差的動作則有一個位置偏低的窄分布，幾乎永遠贏不了。隨著證據累積，每個分布都會收窄，策略最終落在真正最好的動作上。這種隨機性是與你的不確定性成正比——正是我們想要的有方向行為。

對整個 MDP 做後驗抽樣

把 Thompson 的想法從單一動作擴展到整個環境，就得到強化學習的後驗抽樣（posterior sampling for RL, PSRL）。它維護的後驗不是關於動作價值，而是關於整個世界模型——轉移與獎勵動態。每個回合開始時，從該後驗抽出一個完整、合理的 MDP，把它當成真相去求解，並在這個回合中遵循那個策略。再用觀察到的結果更新後驗，下一回合重新抽樣。

資訊增益：為了學習而探索

第三種視角把目標講得更明白：資訊增益探索（information-gain exploration）。在這裡，智慧體看重一個動作，一部分是因為它帶來的獎勵，另一部分是因為預期能學到多少——也就是它能把自己對世界的不確定性削減多少。形式上，這份學習量度為後驗熵的預期下降量。這個觀點統一了其他方法：樂觀與 Thompson 抽樣都可解讀為「在你能學最多之處行動」的高效、可計算的近似。

這三個原則——樂觀、後驗抽樣、資訊增益——是理論基石。其餘篇章主要在談當狀態多到數不清時，如何估計不確定性，而那正是深度強化學習所在之處。