缺失的那條說明書
上一篇我們認識了 ψ——一道彌散在空間裡的波——並以一樁擔憂收尾。波無處不在，可一個真實的電子，當你最終抓住它時，卻是完整地出現在某一個點上。那 ψ 到底有什麼用？知道這道波，並不能告訴你粒子究竟會在哪裡（大自然根本就沒有提前定好這一點）。它能告訴你的，是機率：你在這裡、而不是那裡找到粒子的可能性有多大。把 ψ 換算成這些機率的那條規則，正是量子數學與實驗台之間的橋梁。它叫做玻恩定則，得名於 1926 年提出它的馬克斯·玻恩（Max Born）。
把波取平方
這條配方短得令人愉快。要知道粒子在某個地方被找到的可能性有多大，就取那個地方的 ψ，再把它的「大小」平方：機率正比於 |ψ|²。兩道豎線表示「……的大小」——我們丟掉那個複數的「鐘錶指針」方向，只保留它的長度——而那個小小的 2 表示把這個長度自乘一遍。ψ 大的地方，|ψ|² 更大，粒子極有可能在那裡被找到。ψ 穿過零點的地方，|ψ|² 等於零，粒子在那裡壓根兒就找不到。
- 選定你關心的那個地方，讀出波函數在那裡的取值 ψ。
- 取它的大小（它的長度，不管那個複數方向）——記作 |ψ|。
- 把它平方：|ψ|²。這就是機率密度——機率在那個點上堆得有多「稠」。
- 把一片區域上的 |ψ|² 全加起來，就得到在該區域內任意處找到粒子的機率。
由於粒子可能在一段連續的位置範圍內冒出來，最好別把 |ψ|² 直接當成機率本身，而要當成單位空間內的機率——一種密度，就像霧在每個點上堆得有多濃。要得到一個真正的機率，你得把這個密度在一片區域上加起來（積分）。|ψ|² 這個量有它自己的名字：機率密度。而被你取平方的 ψ 本身，則贏得了機率幅這個名字——叫「幅」是因為它是波的高度，叫「機率」是因為把它平方就得出了機率。
為什麼要平方——而不直接用 ψ？
有兩個很好的理由。第一，機率永遠不能為負——不存在「−20% 的可能性」這種東西——可 ψ 卻像任何波那樣會正負擺動（還會是複數）。把一個數平方，就丟掉了它的正負號，得到的總是零或正數，這正是機率所需要的。第二，也更深刻：正是這一「平方」讓干涉算對了。當波的兩部分疊到一起時，你要先把 ψ 的值相加，之後再平方。如果兩部分指向相反，它們會在平方之前就抵消，給出零機率——一條暗紋。要是反過來直接把機率相加，你就永遠得不到這種抵消。大自然是最後才平方的，而這個先後次序，正是干涉圖案的全部奧秘。
這究竟意味著什麼
停下來體會一下玻恩定則有多激進。它說：我們對一個粒子最深刻的描述——它的波函數——給出的並不是粒子會在哪裡的預言，而僅僅是各種可能性。把同一個實驗重複一千遍，每一遍都用完全相同的 ψ，電子卻會落在一千個略有差別的地方。這些落點構成的圖案穩如磐石、可以預測；而每一次單獨的落點，則不可預測。這並不是因為我們無知，或我們的儀器太粗糙。就目前所有人所能判斷的而言，這種隨機性是織進大自然本身的。愛因斯坦出了名地討厭這一點——「上帝不擲骰子」——但此後的每一個實驗都站在了玻恩這邊。
所以，玻恩定則悄無聲息地做了一件天大的工作。它是唯一的那個地方，讓平滑的、決定論式的波動數學，觸碰到了實際測量那個雜亂、隨機的世界。只剩一個線頭沒收：如果 |ψ|² 真要算作機率，那麼在某處——任何地方——找到粒子的可能性，加起來最好正好是 100%。把這件事坐實，正是下一篇那項雖小卻不可或缺的工作。