怎樣才能真正把它解出來

從定律到真正的數字

我們已經搭起了一幅清晰的圖景：薛丁格方程是運動定律，哈密頓量提供能量，定態是獎品，而不含時方程「Hψ = Eψ」才是我們真正去解的那個可處理的對象。但「把它解出來」聽上去仍像一句咒語。本篇要揭開這套配方的神秘面紗——物理學家一次又一次抄起的兩件日常工具：邊界條件和分離變量。你不需要真的去算；你只要看清這些零件如何嚴絲合縫地拼到一起。

邊界條件：邊緣處的規矩

不含時方程，單憑它自己，太過慷慨了：它有數不清的數學解，其中大多數都是物理上的胡話——要麼膨脹到無窮大、要麼帶著尖角折痕、要麼描述粒子待在它根本不可能待的地方。為了挑出真正的、物理上的解，我們施加邊界條件：波函數在問題邊緣處必須遵守的額外規矩。它們其實是穿著數學外衣的常識。

保持有限。波函數不能跑向無窮大——粒子不可能「無限地有可能」出現在某處。
保持平滑。它必須連接起來，沒有斷裂、沒有尖角折痕——這就是波函數連續性的要求。
尊重牆壁。凡是粒子真正去不了的地方（比如一個完全密封盒子的外面），波函數都必須降到零。

第二條規矩——不許斷裂、不許尖角——重要到它有了自己的名字，波函數連續性。而下面這個回報，正是讓整門學科成為「量子」的原因：一旦你要求波函數在牆壁之間平滑地嵌合、並保持有限，那麼只有某些形狀才能做到，而每一個被允許的形狀都附帶一個特定的能量。邊界條件恰恰就是把那道連續的、可能能量的斜坡，削成一道離散台階的東西。每一個原子的能級，不過就是那少數幾個「其波函數恰好能嵌合」的能量罷了。

分離變量：分而治之

第二件工具對付的是複雜性。一個波函數可以同時依賴好幾樣東西——空間的三個方向，再加上時間。把它們全攪在一起較勁，簡直是噩夢。分離變量這一招，是大膽假設答案能拆解成若干個相互獨立的因子、每個變量一個，再彼此相乘——就像假設一道菜的味道是「辛辣的部分 × 甜的部分 × 鹹的部分」，每一部分都能單獨調。

  Ψ(space, time)   ≈   ψ(space)  ×  φ(time)

  one hard problem  ->  two easy problems
     in 2 things          each in 1 thing

分離變量：假設答案是若干單變量因子的乘積，把一個難方程變成幾個容易的方程。

當這個假設奏效時——而對於標準教科書裡的那些系統，它奏效得漂亮極了——那一個纏繞的方程就裂成了好幾個簡單的方程，每個只牽涉一個變量，你可以一個一個地解。事實上，你已經見過這一招最重要的用法了：把空間從時間裡分開，恰恰就是把完整的含時方程，分離成那個簡單的時間旋轉、再加上不含時方程「Hψ = Eψ」的過程。分離變量，正是上一篇裡給了我們那條捷徑的那一步動作的正式名字。

這套配方，從頭到尾

寫出哈密頓量。為你的情形選定勢能 V，加上動能項，你就有了 H。
分離變量。把空間從時間裡分開，留下不含時方程 Hψ = Eψ，去求那些空間形狀。
施加邊界條件。要求波函數保持有限、平滑，並在該為零處歸零——這就篩出了哪些形狀和能量被允許。
讀出能級。存活下來的解就是你的定態，每一個都標著它被允許的能量。
歸一化。把每個波函數縮放一下，讓它的機率加起來等於一——在某處找到粒子的總機率為 100%。

最後這道打磨，歸一化，只是把整體的縮放定下來，好讓機率誠實——它們必須加起來等於一，因為粒子總歸確確實實在某個地方。把這套配方用在最簡單的陷阱上——一個被關在兩堵硬牆之間的粒子——你就得到了教科書裡的盒中粒子：一道整齊的能量階梯，和一組看上去和弦的諧波一模一樣的駐波形狀。它是量子力學的「Hello, world」，也是你離開本級階梯後自然而然的下一步。