「可觀測量」：其實就是「能測的東西」的文謅謅說法
一個可觀測量，無非就是一個物理量：原則上你可以拿一台真實儀器對準它、讀出一個數——位置、動量、能量、一塊小磁鐵指向的方向，都是。上一篇已經把關鍵的想法交給你了：每一個這樣的量，都由一個算符來代表，也就是一個作用在狀態上的動詞。「可觀測量」這個詞，只是當我們想強調它的*物理*面（它是可測的）、而非*數學*面（它是個算符）時才用的說法。同一個對象，戴著兩頂帽子。
真正深刻、也真正出人意料的問題是：一次測量到底*能*產生哪些數？在經典物理裡這很無趣——一份能量可以是任意取值，連續平滑。在量子物理裡，這卻是全部的好戲所在。對許多可觀測量來說，被允許的取值只是一份固定的、往往還彼此分得很開的「菜單」。一個原子的能量是一階一階離散地來的；一個電子的自旋，沿任何一條線去測，結果都只會是「上」或「下」，絕不會出現兩者之間的任何值。本文要做的，就是說清這份「菜單」是從哪兒來的。
本徵態：帶著確定答案的狀態
回想上一篇裡那些神奇的狀態——算符還回來時形狀原封不動、只是被一個數放大縮小的那些。它們值得有個名字。一個狀態，若某可觀測量的算符把它*原樣還回、只乘上一個常數*，就稱為那個可觀測量的本徵態。德語前綴「eigen-」意思是「自己的」或「固有的」：本徵態就是一個在那個算符之下*保有它自身特徵*的狀態——算符不會把它扭成新形狀，只會把它整體縮放。
而那個縮放常數——狀態被乘上的那個數——就是本徵值。下面是點睛之筆，是本文最重要的一句話：一次測量可能給出的結果，恰恰就是該可觀測量的那些本徵值；而在你拿到結果的那一刻之後，系統就停留在與之相配的那個本徵態上。如果你的能量計永遠只能讀出某些值，那正是因為能量算符只有那些本徵值。允許出現的結果所組成的那份離散「菜單」，不是別的，就是這個算符的本徵值清單。
把本徵值方程大聲讀出來
上面這一切，都濃縮在一行整潔的式子裡，叫本徵值方程。別被符號嚇退——把它當成一句中文話來讀，幾乎就是顯而易見的。
 |ψ⟩ = a |ψ⟩ | | | | | | | +-- ...the SAME state |ψ⟩, | | +----- ...gives back a number a (the eigenvalue) times... | +------------- ...acting on a special state |ψ⟩ (an eigenstate)... +----------------- The operator  (the observable)...
這裡的 |ψ⟩ 只是「狀態 ψ」的一種緊湊寫法（那對尖括號是量子物理裡的標準簡寫，你以後會正式認識它）。這個方程說的是：特殊狀態 ψ 是這樣一個狀態——算符 Â 讓它仍指向原來的方向，只把它拉伸了 a 倍。把每一個滿足這條關係的狀態都找出來，再把所有相配的 a 收集起來，你就建好了「測量 Â 所能給出的全部取值」的完整清單。這，簡直就是字面意義上的——預測*哪些結果是可能的*，全部內容就在這裡。
可大多數狀態並不是本徵態
下面這一段，初學者會覺得真的很驚人，所以請放慢腳步。一個典型的狀態，*並不是*你想測的那個量的本徵態。它是一種混合——一個疊加態——同時由好幾個本徵態調和而成，就像一個和弦裡含著好幾個音符，而不是一個單純的純音。這樣的狀態，在你測量*之前*，對那個可觀測量根本沒有單一的確定值。這並不是說那個值被藏著不讓你看見；而是它確確實實還沒有定下來。
那麼，當你去測量這樣一個「和弦」時，會發生什麼？你仍然得到的是其中*某一個*本徵值——絕不會是介於其間的某個數——但*究竟是哪一個*，則取決於概率。決定這份概率的規則，就是玻恩定則：某個本徵態在這個混合中佔的分量越重，它對應的本徵值出現的可能性就越大。和弦裡響得最大的那個音，正是你最可能聽到的那個。而就在結果出現的那一瞬間，這個和弦塌縮成了那個單音：系統跳進與之相配的本徵態，此後再測一次，必定給出同樣的答案。
把它收攏起來。一個可觀測量，是一個可測的量，由一個算符承載。它的本徵值，是測量唯一可能給出的取值；它的本徵態，則是乾脆俐落地擁有其中某個值的那些狀態。真實的狀態通常是混合體，所以一次測量會按玻恩定則給出的概率，在各本徵值之間「下注」，然後把系統「啪」地定到它落中的那個本徵態上。你早已見過的那些能級——比如一個被困住的粒子的一級級「台階」——正是能量算符的能量本徵態上演的這同一個故事。接下來我們要問一個更尖銳的問題：一個算符究竟得滿足什麼條件，它的本徵值才能首先是合情合理、實實在在的測量讀數？