順序什麼時候要緊？
有些動作，無論你以什麼順序去做，結果都一樣。先穿左襪再穿右襪，或者先右後左——兩種順序結果相同。另一些成對的動作，則絕對取決於順序：先穿襪子再穿鞋，沒問題；先穿鞋再穿襪子，那就是場災難。對後面這一對，順序*要緊*；對前面那一對，則*不要緊*。萬萬沒想到，正是這個再樸素不過的區別，原來就是量子不確定性最核心的那個秘密。
別忘了，算符就是動作——你施加在狀態上的動詞。所以我們可以對任意兩個算符問同樣的問題：如果我先作用算符 Â、再作用 B̂，得到的東西，會和先作用 B̂、再作用 Â 一樣嗎？對某些成對的算符，會一樣——順序無關緊要。對另一些，則不一樣——這兩條路線落到的，是真真切切不同的狀態。衡量這兩種順序之差的那個裝置，就叫對易子，記作 [Â, B̂]。按定義，它無非就是「先 Â 後 B̂，減去先 B̂ 後 Â」。
[Â, B̂] = Â B̂ - B̂ Â
| | |
| | +-- do B̂ first, then Â
| +----------- do  first, then B̂
+--------------------- the gap between the two orders
= 0 -> order does NOT matter (they "commute")
≠ 0 -> order DOES matter (they do not commute)對易，意味著「可以同時知道」
下面就是讓對易子真正要緊的那段物理。當兩個可觀測量的算符相對易——也就是它們的對易子等於零時——它們被稱為相容可觀測量，於是一件美妙的事隨之而來：它們可以共享同一批本徵態。一個狀態可以*同時*是兩者的銳利本徵態，對每一個都持有一個確定的值。這意味著，你可以同時精確地知道這兩個量，不必付出任何取捨代價。測量其中一個，不會把另一個攪模糊。
當這兩個算符*不*對易時，這兩個可觀測量就是不相容的，那扇門便砰地關上了。它們無法共享一整套本徵態，所以沒有任何狀態能在兩者上同時都很銳利。逼著其中一個變得完全確定——把它精確測出來——另一個就必然被抹散在許多可能的取值之上。這不是你設備的失誤；它就鐫刻在狀態本身的結構裡。那個非零的對易子，正是「這兩者永不能同時銳利」的數學指紋。
物理學裡最有名的那個對易子
最招牌的例子，就是位置和動量。我們早先見過它們的算符：x̂ 把波函數乘以位置，p̂ 讀取它的斜率。把它們以兩種順序作用一遍——這件事一生中值得親手做一次——它們是真的對不上。「先按 x 拉伸，再取斜率」，和「先取斜率，再按 x 拉伸」，並不是一回事，因為拉伸這一步，恰恰改變了你即將去讀的那個斜率本身。它們的對易子不為零。事實上，它等於一個固定的、極小的常數（由普朗克常數搭成），而這條精確的關係如此核心，以至於自有其名：正則對易關係。
正因為位置和動量不對易，它們是不相容的：沒有任何狀態能在同一時刻既有完全確定的位置、又有完全確定的動量。把一個粒子在哪兒釘得分毫不差，它的動量就變得極度不定；把它如何運動釘得分毫不差，它的位置就在空間裡抹散開來。這不是你能想辦法繞過去的一點小怪癖——它正是被那個唯一的非零對易子逼出來的。這樣無法拆開的成對量，就叫共軛變量。
不確定性就是從這裡來的
現在，上一篇留下的那個線頭收住了。我們說過：一個可觀測量裡那份無法避免的散布，與另一個可觀測量裡的散布鎖死在一起。對易子，正是那把鎖。有一條精確的定理——海森堡不確定性原理——它說：這兩份散布的乘積，永遠不可能低於一道由它們對易子的大小所設定的「下限」。如果對易子為零（相容），這道下限就是零，兩份散布可以一起縮到無窮小。如果對易子不為零（不相容），這道下限就抬離了地面，把其中一份散布壓下去，就逼著另一份升上來。不確定性不是含混，也不是無知；它是算符「拒絕對易」所帶來的、直接而定量的後果。
至此，整條軌道「咔噠」一聲合成了一個閉環。一個可觀測量，是一個厄米算符；它的本徵值，是你能測出的那些實數結果；期望值，是它們的長程平均；而兩個算符之間的對易子，則裁定這兩者能否同時銳利——若不能，又必須模糊到何種確切程度。算符不是記帳用的小工具。它們是一套語法，規定了大自然究竟肯不肯讓你同時知道哪些事。