圖像幫我們入門，卻很快用盡
如果你以前接觸過任何量子力學，多半是以圖像的形式遇到的：電子是一團模糊的雲，粒子暗地裡其實是一道波，一隻貓不知怎地同時既活著又死了。這些圖像並沒有錯，對於體會量子世界有多奇異，它們也妙不可言。但它們有極限。你若向一幅圖像提出一個精確的問題——這次測量*究竟*有多大可能、若把兩個這樣的東西合在一起會怎樣、狀態在下一秒裡如何變化——圖像就會變得含糊。要給出精確的回答，物理學家需要圖像之下的某種東西：一種精確的語言。
這種語言就是這一級階梯的主題。它是數學性的，但別因此害怕——它的核心是一個簡單的、幾乎可以說帶有幾何味道的想法，外面只是套了幾個巧妙的符號。讀完這五篇導覽，你將能讀懂出現在每一本量子教科書和論文裡的記號；更重要的是，你會明白它到底在*說什麼*。
一個核心想法：狀態是一種「箭頭」
整個秘密用一句話就能說完。某一時刻你能夠知道的關於一個量子系統的一切，都被裝進一個單一的對象裡，這個對象叫做它的量子態。而這個對象在數學上的行為，就像一支箭頭——一個向量——棲居在一個抽象空間之中。它不是普通空間裡指向北方或上方的那種箭頭，而是一支住在一個專門為容納量子態而搭建的特殊空間裡的箭頭。正因為它是一支箭頭，我們才把它叫做態矢量。
一旦你接受「狀態是一支箭頭」，許多事情就會同時各就各位。一個疊加態——粒子「既在這裡又在那裡」——不過就是兩支箭頭相加。你或許見過的那個著名的波函數，也就是那條彎彎曲曲的圖像 ψ(x)，原來只是把同一支箭頭*寫下來的一種特定方式*：即把它沿每一個可能位置上投下的「影子」逐一列出。箭頭才是真正的東西；波函數只是它的一套行頭。
這門語言必須完成的幾件事
一門好的量子力學語言，需要完成的活兒其實不多。它必須讓我們能夠乾淨俐落地給一個狀態命名，能夠追問一個狀態與另一個狀態有多少「重疊」（概率正是由此而來），能夠描述當我們測量某個量時會發生什麼，以及能夠跟蹤一個狀態如何隨時間演變。這份清單上的每一項，都會化作你在接下來幾篇導覽中將要遇到的形式體系的一個部件。
- 給狀態命名。狄拉克的左矢-右矢記號為每個狀態配上一個整潔的符號，例如 |ψ⟩——下一篇詳談。
- 把所有狀態安置在一起。它們棲居在同一個共享的舞台上，即希爾伯特空間——第三篇。
- 用簡單的狀態搭出任意狀態。一組完備的基提供了這些「積木」——第四篇。
- 讓狀態穿越時間而不丟失概率。這一保證就是么正性——第五篇。
請注意，測量貫穿了上述一切。我們真正從實驗儀器上讀出的那些量——能量、位置、自旋——被稱為可觀測量；在這門語言裡，每一個可觀測量都由一種作用於箭頭之上的特殊對象來處理。這裡我們只點到為止，留待以後正式認識；眼下的要點是：同一幅「箭頭加空間」的圖景承載著一切，連「觀看」這個動作本身也包括在內。
為什麼值得費這番抽象的功夫
你大可發問：既然波函數已經管用，何必非要爬進一個抽象的箭頭空間不可？老實的回答是：抽象之所以值得，是因為它能*統一*。波函數 ψ(x) 對於一個沿直線運動的粒子來說極好用。但電子的自旋根本就沒有位置——它只有兩種取值，向上和向下——於是沒有任何彎曲的圖像可畫。可自旋仍然是一個量子態，仍然是一支箭頭，仍然是某種你可以相加、縮放並測量的東西。箭頭語言用*完全相同的規則*同時涵蓋了自旋的電子和滑行的粒子。一套框架，囊括所有系統。
這就是全盤的計劃。我們要一步一個溫和的腳印，搭起這門「圖像背後的語言」——你會發現，它與其說是一堵數學高牆，不如說是一個優雅的想法，被拉伸開來去貼合整個量子世界。翻到下一頁，讓我們來學習如何把一支箭頭寫下來。