一個名聲大噪的符號
1920 年代後期，年輕的英國物理學家保羅·狄拉克（Paul Dirac）一直在尋找把量子力學寫下來的、盡可能最乾淨的方式。他 1930 年那本著名的教科書奠定了基礎，而他最終敲定的這套記號——在 1939 年一篇短文裡加以打磨，並寫進了那本書後來的版本——好到我們至今仍基本原封不動地沿用。一旦你學會它，就再也無法對它的精巧視而不見。它叫做左矢-右矢記號，整套記號建立在一個妙得有點傻氣的雙關語之上，這一點我們稍後會講到。
回想上一篇說過，量子態其實就是一支箭頭。左矢-右矢記號不過是一種極其經濟地寫下這支箭頭、並對它做運算的方式。這裡沒有任何在精神上你尚未見過的東西——只是為它配上了一種嶄新而極其緊湊的「書寫體」。
右矢：裝在「盒子」裡的狀態
為了寫下一個量子態，狄拉克把一個標籤裹進一個朝左開口的半個盒子裡，像這樣：|ψ⟩。這個對象叫做右矢（ket），它代表一支態箭頭。裡面那個花體符號，這裡是 ψ，只是一個名字——你同樣可以寫成 |貓⟩、|電子在這裡⟩、|自旋向上⟩，或者用 |0⟩ 和 |1⟩ 來表示一個量子位元。括號承載著「這是一個狀態」的含義；裡面的標籤只是說明這是*哪一個*狀態。
因為右矢是一支箭頭，那兩個「箭頭戲法」依舊成立，而且現在看起來非常乾淨。你可以用一個數去縮放一個右矢，寫作 c|ψ⟩；你也可以把兩個右矢相加，|ψ⟩ + |φ⟩，得到一個新狀態。那個和就是一個疊加態——至此，終於用它天然的「字母表」寫了出來。
|psi> a state (a "ket") c |psi> the same state, scaled by a number c |psi> + |phi> a superposition: two states added Examples: |up>, |down>, |0>, |1>, |here>, |cat alive>
左矢：把狀態變成一個「提問」
現在說那個雙關。狄拉克想要一個朝另一邊開口的搭檔符號，一個朝右開口的半個盒子：⟨φ|。他把它叫做左矢（bra）。妙處在於：當你把一個左矢推到一個右矢跟前——⟨φ| 緊挨著 |ψ⟩——這兩半就會咬合成一個完整的括號（bracket）：⟨φ|ψ⟩。bra-ket（左矢-右矢）。（狄拉克確實就是把單詞 「bracket」 一劈為二來給它們命名的。）如果說右矢是一個靜靜待在那裡的狀態，那麼左矢最好被理解為一個朝著狀態發出的*測量式提問*。
每一個右矢 |φ⟩ 都有一個與之配對的左矢 ⟨φ|；左矢是同一支箭頭從一個「搭檔空間」看過去的樣子（數學家把它叫做對偶空間，但你不需要這個詞也能使用這套記號）。一個左矢和一個右矢合在一起所做的最重要的一件事，就是組成 ⟨φ|ψ⟩——這是一個普通的數，它告訴你狀態 |ψ⟩ 與狀態 |φ⟩ 有多少「重疊」。這個數就是兩個狀態的內積。
為什麼「重疊」就是全部的關鍵
括號 ⟨φ|ψ⟩ 之所以重要，是因為物理正是從這裡進入的。假設一個系統處於狀態 |ψ⟩，而你問：「它處於狀態 |φ⟩ 嗎？」那麼重疊 ⟨φ|ψ⟩ 恰恰就是得到「是」這一結果的概率幅。要把一個概率幅變成一個貨真價實的概率，你取它的大小再平方——寫作 |⟨φ|ψ⟩|²。這條平方法則就是著名的玻恩規則；在你今後的整個量子生涯裡，你都會看到它穿著這套記號出現。所以這個不起眼的括號絕非裝飾：它是從抽象箭頭通往一個可與實驗對照的數字的橋樑。
有兩個特例值得你隨身揣著。第一，⟨ψ|ψ⟩，即一個狀態與自身的重疊，量度的是這支箭頭長度的平方；我們通常堅持要它等於 1——這無非是在要求「所有結果的概率加起來等於 1」（即歸一化條件）。第二，若 ⟨φ|ψ⟩ ＝ 0，則兩個狀態可被完美區分——測量其中之一絕不會被誤認成另一個。這兩個事實——歸一化的狀態與正交的狀態——是今後幾乎每一次計算的語法。
把各個零件拼起來
- 看到 |ψ⟩ 了？把它讀作「一個叫 ψ 的狀態」——一支箭頭。別把符號想得太複雜。
- 看到 ⟨φ| 了？把它讀作「那個提問：有多像 φ？」——一個被轉化為探針的狀態。
- 看到一個完整的 ⟨φ|ψ⟩ 了？它是一個數：重疊，也就是「是的，它是 φ」這一答案的幅。
- 想要一個概率？把它的大小平方：|⟨φ|ψ⟩|²。那就是實驗可以核對的數字。
這就是全部的字母表：右矢表示狀態，左矢表示提問，括號表示重疊。它在紙面上看似單薄，然而正是這一小套符號，足以表達量子力學裡的每一句話——從單個量子位元，到整個電磁場。下一篇裡，我們要問：所有這些箭頭究竟棲居在哪裡——那個讓整門語言得以渾然一體的空間。