不報出方向，卻要指出方向
假設我遞給你一支希爾伯特空間裡的箭頭，請你精確地描述它。在電話裡說「它朝那邊指」可不行。無論在普通空間還是在量子力學裡，人人都用的竅門是：先就幾個參照方向達成一致——東、北、上——然後用任意箭頭沿每個方向各伸出多遠，來描述它。「向東三步、向北兩步」就把一個點精確釘死了。這組約定好的參照方向就叫做基，而學會使用一組基，正是貫穿整個這一級階梯的核心實用技能。
用量子語言說，一組基就是一組特殊的狀態——叫它們 |1⟩、|2⟩、|3⟩，等等——被選作參照方向。這樣，任意一個狀態 |ψ⟩ 都可以寫成它們的加權和：|ψ⟩ ＝ c₁|1⟩ ＋ c₂|2⟩ ＋ c₃|3⟩ ＋ …… 你會立刻認出右邊那一串：它就是一個疊加態。所以「把一個狀態寫在某組基裡」和「把一個狀態表達成基態的疊加」，是完全相同的一件事。
什麼樣的基才算好：正交歸一
並非每一組參照方向都同樣好用。最理想的選擇是正交歸一基，一個嚇人的詞，背後卻只是兩個簡單的要求。*正交*（ortho-）：各個基態彼此成直角，於是它們的重疊為零——只要 i 與 j 不同，⟨i|j⟩ ＝ 0。*歸一*（normal）：每個基態長度為一——⟨i|i⟩ ＝ 1。合起來：這些積木大小一致、彼此截然有別，就像乾淨的「東—北—上」坐標軸，而不是一組歪斜、相互重疊的方向。
正交歸一性帶來的回報，是一個便利的小奇蹟：展開式裡的每一個係數 cᵢ，都不過是一個你能直接讀出的重疊，cᵢ ＝ ⟨i|ψ⟩。想知道你的狀態裡「含有多少 |1⟩」，你只需取那個括號 ⟨1|ψ⟩——無需求解，毫不費事。這是你或許在普通向量裡見過的那個竅門在量子世界的迴響：要取得一個分量，就把它投影到對應的坐標軸上。
|psi> = c1|1> + c2|2> + c3|3> + ... each coefficient: c_i = <i|psi> (just an overlap!) orthonormal means: <i|j> = 0 if i != j , <i|i> = 1
完備：不漏掉任何東西
一組基還必須是完備的——它提供的方向必須足夠多，多到通過組合它們就能抵達*每一個*可能的狀態，沒有任何東西被漏在外面、是這組基所無法描述的。在三維空間裡，光有東和北並不完備；你會漏掉所有上上下下的方向。一組完備的集合不留任何缺口。正是完備性，保證了展開式 |ψ⟩ ＝ Σ cᵢ|i⟩ 對任意狀態都真正成立，而不只是對某些走運的狀態成立。
物理學家把「正交歸一且完備」濃縮進一句優雅的陳述，叫做完備性關係。它的精確形式你以後會遇到；用大白話說，它無非是「這些積木已經夠用，而且它們乾淨地不相重疊」。每當你看到一個對某組基的求和被突然塞進一個表達式的中間——這是極常見的一招——那便是完備性關係在悄悄起作用，它在說：「我有權在這裡插入一整套積木，因為它們加總起來等於『什麼都沒改變』。」
為什麼測量偏愛基
下面這一段，能把記帳變成物理。當你測量某個量時，可能的結果對應著一組特定的基——也就是那次測量天然的「坐標軸」。測量一個電子的自旋是向上還是向下，相關的基就是 {|向上⟩, |向下⟩}。現在把狀態在這組基裡展開，|ψ⟩ ＝ c↑|向上⟩ ＋ c↓|向下⟩，於是玻恩規則說：每個結果的概率，就是它係數的大小平方：向上是 |c↑|²，向下是 |c↓|²。你通過投影求出的那些係數，平方之後，正是實驗將要顯示的幾率。
最後一個令人豁然開朗的想法：基的選擇*由你做主*。同一個物理狀態，既可以寫在「向上/向下」基裡，也可以同樣合法地寫在「向左/向右」基裡——不同的參照軸、不同的係數，背後卻是同一支箭頭。一次測量無非是在問：「你打算在哪組基裡盤問我？」改變你的提問，就改變了你所預測的數字，縱然狀態本身紋絲未動。讓箭頭保持不動、而把坐標軸換來換去，是整個量子力學裡最強大的習慣之一。