當一個聰明的猜測勝過一場艱難的計算
有時你並不需要整個解——你只是非常想要一個數字：一個系統所能達到的最低能量，即它的基態能量。這往往是最重要的單一物理量，因為它告訴你一個分子被束縛得有多緊，或者一個粒子究竟能不能被困住。變分法去逼近那個數字所用的辦法，聽起來幾乎隨意得不像物理：你對波函數的形狀做一個有根據的猜測，然後*調*它，直到它好得不能再好。
把這件事從「純靠瞎猜」裡拯救出來的，是一條了不起的保證。無論你為波函數猜了什麼形狀——巧妙也好、笨拙也罷、對也好、錯得離譜也罷——你由它算出的能量，絕不會低於真實的基態能量。你的猜測只可能高估。這就是變分原理，它改變了一切：它把尋找基態變成了一場「下坡搜索」，在那裡「更低」永遠意味著「更好」。
為什麼猜測只會「偏高」
一旦你看懂，這塊「地板」為何無法被擊穿就真的很直觀。你猜出的任何波函數，都可以看成系統真實能量狀態的一種混合——一撮真實的基態、一點第一激發態，如此等等。當你計算這份混合的平均能量時，得到的是那些真實能量的加權混合。既然真實的基態能量是它們之中*最低*的，那麼任何哪怕只摻入了一絲高激發態的混合，其平均值都必然偏大。唯一能正好命中真實最小值的辦法，就是你的猜測恰好*就是*真實的基態。
從操作上講，你由猜測算出的那個數字，是它的能量期望值——也就是說，如果系統真的處於那個猜測的狀態，你測量到的平均能量。變分原理告訴你：這個平均值是一個「天花板」，它壓在真實值之上，可以被向下推、逼近真實值，卻永遠鑽不到真實值之下。
實際上該怎麼做
在實踐中，這套方法具體得令人愉快，歸結起來就是一個簡短的循環。全部的巧思都凝結在你對試探形狀的選擇、以及你留出哪些「旋鈕」可調上。
- 寫下一個試探波函數——一個對答案形狀的猜測——它含有一個或多個可調參數（旋鈕）。
- 把那個試探態的平均能量算出來，寫成關於這些旋鈕的公式。
- 轉動旋鈕，讓那個能量盡可能小——找到使它取最小值的那組設置。
- 那個最小值，就是你對基態能量的最佳估計——而且你知道它是真實值的一個上界。
它的閃光之處，以及它誠實的局限
變分法真正大放異彩的地方，恰恰是微擾理論吃力之處——當附近沒有可解問題可以倚靠，而你主要關心的又是某個束縛態的能量、而非每一個細節時。它是現代量子化學的脊梁：分子的能量、化學鍵的強度，以及大量計算藥物設計，靠的都是去調那些含有數百萬個可調參數的龐大試探波函數，而這一切都騎在那條樸實保證之上——更低就是更好。
不過，要對它的小麻煩保持誠實。這套方法告訴你一個上界，卻不會告訴你超出了多少——一個看上去很漂亮的低數字，仍可能漏掉了某些東西。而且它天然只瞄準那個最最低的狀態；要夠到激發態，需要額外的巧思。只要用得明智，這些都無損它的聲譽：憑一個精挑細選的猜測，變分法常常能拿下那些無人能精確求解的系統的基態能量，其中就包括當初挫敗了精確解法的氦原子。