關於物理學的一個小坦白
有件事，教科書很少在第一頁就直說：在量子力學裡，幾乎沒有哪個真實問題能被精確求解。整門學科的核心方程——薛丁格方程——在紙面上不過是一份「配方」，告訴你如何求出任意一個系統所允許的能量和波的形狀。但「紙面上」這幾個字承擔了太多。一旦你寫下任何比少數幾個「玩具模型」更複雜的東西，這個方程就再也無法靠鉛筆、耐心和一個閉式解來求解了。誠實的情形是：能精確求解的情況，只是浩瀚的不可解之海中的一座小島。
如果這聽起來像壞消息，那其實恰恰相反。整套近似的手藝，是物理學中最具創造性的部分之一。面對一個無人能攻克的方程，物理學家並不會放棄——他們會想出巧妙的辦法，得到一個幾乎完全正確的答案，往往精確到比任何實驗所能核對的還要多的小數位。這一級階梯，就是專門用來做這件事的工具箱。
精確答案的那座小島
有必要知道，究竟哪些問題真的擁有乾淨、精確的解，因為每一種近似方法都倚靠著它們。著名的可解情況寥寥可數：被困在一個完美方形盒子裡的粒子（箱中粒子）、一個完美的彈簧式勢（量子諧振子），以及一個繞著一個質子轉的單個電子（氫原子）。這些都是乾淨、理想化的世界，在那裡數學恰好能完美地「收口」。
現在加入最微小的一點現實。往那個原子裡再放一個電子——這就是氦——精確解便隨之蒸發。兩個電子彼此相互排斥，這額外的一推把它們的運動耦合在一起，使得那個乾淨的方程再也理不清。這並非量子特有的怪癖；它正是著名的「三體問題」——即便是經典物理，面對太陽、地球和月亮，也無法給出閉式解。宇宙絕大部分都是由三體或更多體的問題構成的。可精確求解的系統是例外，而非常態。
四種「巧妙地幾乎正確」的辦法
物理學家手裡沒有一種包打天下的宏大方法，而是常備一套小小的近似策略，每一種都適配一類不同形狀的問題。這門藝術，有一部分就在於挑對工具。下面就是你將在這一級階梯裡遇到的那套工具，用大白話講講。
- 當你的問題幾乎就是一個你已經會解的問題時，把兩者之差當作一個小小的「輕推」，再一步步地為它做修正。這就是微擾理論。
- 當你只想知道最低能量、並且對答案的形狀有不錯的直覺時，做一個有根據的猜測，再去調它。這就是變分法。
- 當勢在空間中變化得只是緩慢平滑時，就借助通往經典物理的那座橋。這就是 WKB 近似。
- 當系統本身隨時間緩慢變化時，它往往會忠實地停留在自己當前的狀態。這就是絕熱定理。
請留意貫穿這四種方法的同一個招數：每一種都找到了某處「小」或「慢」的東西，並加以利用。一個微小的相互作用、一個緩慢變化的勢、一個時間上輕柔的改變——這些正是一道不可能問題上的裂縫，答案就從這些裂縫裡溜了出來。學會發現那個「小」或「慢」的東西，就贏得了這場遊戲的大半。
為什麼這並不算失敗
人們很容易覺得：需要近似，是不是意味著量子力學某種程度上不完備，或者我們只能退而求其次。其實不然。理論本身精確得令人驚嘆——麻煩純粹出在數學上，和那個讓我們無法用一個簡潔公式寫下三顆行星軌道的困難，是同一種困難。這些近似方法並不是給一個漏水的理論打補丁；它們恰恰是一個精確理論如何被「兌現」成你能拿去和實驗室比對的數字。
想想這背後的回報。同樣這套近似機器，只要小心使用，就能預言氦發出的光的顏色、一根化學鍵的強度，乃至一個電子的磁性——精確到十幾位小數，這是全部科學中被實驗證實得最精確的預言。這些都不是來自精確解，而是來自懂得如何巧妙地、可控地、漂亮地「幾乎正確」。這正是接下來一切內容的精神所在。