等可能結果與古典機率

機率裡最古老的公式

前幾篇已經把工具備齊了：樣本空間是隨機試驗所有可能結果的集合，事件是它的子集，而公理告訴我們機率是一種測量這些子集的方法——非負、歸一、可加。古典機率定義就是在這之上再加一個假設後的產物：每個個別結果都等可能。擲一顆公正骰子，六個面是可互換的；從洗勻的牌堆抽一張，52 張地位平等。一旦你相信這點，機率就無處可藏——它只能是計數。

具體來說：若樣本空間有 N 個結果且全都等可能，而事件 A 含其中 k 個，則 P(A) = k / N。有利情形除以全部情形。對公正骰子，P(出現偶數) = 3 / 6 = 1/2，因為六個面裡有三個（2、4、6）為有利。就這樣。這篇之所以值得寫，是因為這份簡單具有欺騙性：公式只有在等可能假設真正成立時才正確，而選對 N 幾乎藏著全部的難處。

P(A) = (number of outcomes in A) / (number of outcomes in S)
     = k / N        -- valid ONLY when all N outcomes are equally likely

古典公式，把它唯一承重的條件明白寫出來。

為什麼它是定理，而不是新公理

把「有利除以全部」當成機率的定義很誘人——歷史上拉普拉斯與同代人正是這麼想的。但從前一篇的現代觀點看，古典規則是公理的結果，不是公理的競爭者。假設這 N 個結果機率相同，記為 p。這些結果是基本事件且互斥，所以由可加性它們的機率加總等於 P(S)。歸一性迫使 P(S) = 1，於是 N · p = 1，故 p = 1/N。含 k 個結果的事件 A 再由可加性得 P(A) = k · (1/N) = k/N。古典公式直接掉出來——除了「等可能」之外，不需要任何新假設。

這很重要，因為它精確告訴你規則的界限。古典定義完全活在一個假設裡：一個有限的樣本空間，且你有充分理由稱其結果為等可能。當這種對稱性是真的——公正骰子、洗勻的牌、輪盤——計數就既精確又漂亮。當它不成立時，公式會自信地給出胡言。機率論之所以必須超越拉普拉斯，正是因為多數真實試驗並無這種對稱性，這也正是更廣的機率詮釋要處理的問題。

選對樣本空間就是全部的關鍵

這是經典陷阱。擲兩顆可區分的骰子，問點數和為 7 的機率。粗心的人列出可能的和——2、3、4，一路到 12，共十一個值——然後說 P(和 = 7) = 1/11。錯了。這十一個和並非等可能。和為 2 只有一種方式 (1,1)，但和為 7 有六種：(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)。誠實的樣本空間是 36 個有序對，若骰子公正，這些才真的等可能。所以 P(和 = 7) = 6/36 = 1/6。教訓是：開始計數之前，你必須選一個其結果確實等可能的樣本空間。

注意我們做了什麼：我們把樣本空間細化到結果可互換，然後才計數。這正是本階梯下一級談計數的原因。一旦你選定一個等可能的樣本空間，每個古典機率都變成兩個計數的比值，而技藝就在於數出有利情形而不遺漏、不重複。乘法計數原理（把各獨立階段的選擇相乘）與組合（計算不分順序的選取）是你會在那裡遇到的主力工具。現在只要把紀律記牢：先確定 N，再確定 k，並確保這 N 個結果等可能。

寫下試驗，並列出一個你能誠實主張其結果等可能的樣本空間（若顯而易見的描述不成立，就把它細化）。
數出結果的總數 N。
數出有利結果 k——也就是你關心的事件裡的那些。
回報 P(A) = k / N，並檢查它落在 0 到 1 之間。

當結果不可數時：幾何機率

如果有無限多個等可能結果呢——比方說你把一個點隨機落在一根一公尺長的棍子上？你無法用有利除以全部來計數，因為兩者都是無限。自然的補救保留了「等可能」的精神，但把計數換成度量。在幾何機率中，落在某區域的機率是該區域的大小除以整個空間的大小——長度比長度、面積比面積、體積比體積。若點均勻落在棍子上，P(落在前 30 公分) = 30/100 = 0.3。和 k/N 是同一個比值想法，只是換成連續的大小概念。

幾何機率讓你初嘗為何單一點的機率可以是零。落點恰好落在 50 公分刻度的機會是 0，因為單一點長度為 0，而 0 / 100 = 0。這不是矛盾，也不代表該事件不可能——點終究會落在某處。這是連續模型一個真實的特性，往後談到密度時還會更尖銳地再遇到：機率為零不等於「不可能發生」。後面講連續隨機變數的篇章正是直接建立在這幅圖景之上。

隨之而來的常見誤解

最大的錯誤是把等可能硬套在並不對稱的結果上。「我要嘛中樂透要嘛不中，所以是五五波」是典型的災難：兩個結果確實存在，但沒有任何對稱性使它們相等，所以用 N = 2 套 k/N 根本是錯的。古典規則是你藉由展示對稱性才掙來的特權，絕不是預設值。明天要嘛下雨要嘛不下，但這對下雨的機率沒提供任何資訊。

第二種混淆是把「等可能」與試驗在時間上的公平攪在一起。因為公正輪盤每一轉的結果都等可能，人們錯誤地推論連出五次紅後，黑「該」出來把局面扳平。這是賭徒謬誤，是對等可能含義的誤讀。單次試驗內的等可能結果，對跨試驗的記憶毫無置喙；公正輪盤根本沒有記憶。誠實的陳述是：紅的長期比例會趨近其真值，而非短期內必須拉平——這個區別會由幾級之後的大數法則精確刻畫。

第三個更細微的陷阱：古典規則需要有限的 N。沒有任何均勻方式能「隨機」挑一個正整數使每個整數都等可能——若每個機率都是同一個 p，則要嘛 p = 0（總和是 0，不是 1），要嘛 p > 0（總和是無限）。可數情形沒有均勻分配。這就是為何幾何機率對連續空間用長度或面積、而非計數，也是為何「挑一個隨機數」總得先說定範圍。對稱性很強大，但它帶有有限的味道。