事件的組合：聯集、交集、補集

三個字：或、且、非

在上一篇裡，事件其實不過是樣本空間的一個子集合——一束你特地挑出來、想問問題的結果。這個定義的回報現在出現了：因為事件就是集合，你可以用你早已熟悉的集合運算去組合它們，而每個運算都對應一個平實的中文字。核心動作只有三個，但它們涵蓋的範圍大得驚人。

A 與 B 的聯集，寫作 A ∪ B，是事件「A 或 B（或兩者）發生」。交集，寫作 A ∩ B，是事件「A 且 B 同時發生」。A 的補集，寫作 A^c，是事件「A 不發生」——也就是樣本空間中位於 A 之外的一切。想像擲一顆骰子，令 A =「偶數」= {2, 4, 6}，B =「至少 4」= {4, 5, 6}。那麼 A ∪ B = {2, 4, 5, 6}，A ∩ B = {4, 6}，而 A^c = {1, 3, 5}。馬上注意這個小陷阱：數學裡的「或」是包含性的，所以 A ∪ B 也含結果 4，它同時在兩者裡。這整套工具就是事件代數。

這套文法有它自己的規則

這三個運算不是一堆鬆散的技巧；它們服從一套整齊的代數，而這正是它們好用的原因。聯集與交集各自可交換（A ∪ B = B ∪ A）並可結合，所以你列出事件的順序完全無關緊要。它們彼此之間也滿足分配律，就像一般算術裡乘法對加法那樣：A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)。而補集取兩次會回到原處：(A^c)^c = A。這些定律的意義在於槓桿——你可以先把一個雜亂的事件改寫成等價而較簡單的形式，再去替它貼上數字。

最有用的一對規則把「非」與「或」、「且」連起來：笛摩根定律。它們說 (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c，以及 (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c。唸出來，第一條純粹是常識：「A 與 B 都沒發生」等同於「A 沒發生且 B 沒發生」。第二條說「A 與 B 沒有同時發生」意味著「A 落空或 B 落空」。其深層想法是：補集在越過那條橫線時會翻轉運算——聯集變交集、交集變聯集。每當一個關於「至少一個」的事件很彆扭、但它的反面「一個都沒有」卻很容易時，你就會伸手去拿這項主力工具。

(A or B)^c  =  (not A) and (not B)
(A and B)^c =  (not A) or  (not B)

Example (one die):
  A = even      = {2,4,6}
  B = at least 4= {4,5,6}
  A or B        = {2,4,5,6}
  (A or B)^c    = {1,3}
  A^c and B^c   = {1,3,5} and {1,2,3} = {1,3}   (matches)

當事件無法重疊時

一個特別且重要的情形，是兩個事件完全不共用任何結果：A ∩ B 為空。我們稱這樣的事件為互斥（或不相交）——它們在同一次試驗中不能同時發生。「骰子出現 2」與「骰子出現 5」互斥；「偶數」與「至少 4」則不互斥，因為 4 與 6 同時落在兩者裡。這對下一篇極其重要，因為唯有當事件不相交時，把機率相加才安全。最熟悉的一對是某事件與它自己的補集：A 與 A^c 永不重疊，而合起來恰好填滿整個樣本空間。

一個近親是完備事件的概念：一組事件的聯集等於整個樣本空間，所以至少有一個保證發生。當一組事件既互斥又完備時，它們構成一個分割——把樣本空間切成不重疊、且毫無遺漏的小塊。骰子的六個面 {1}、{2}、{3}、{4}、{5}、{6} 就是最簡單的分割。分割悄悄地居於核心地位；日後的全機率定理與條件化，正是靠它把一個困難問題拆成容易的薄片。

圖示藏起來的兩個警告

范氏圖對直覺極有幫助，但它悄悄內建了兩個值得明說的假設。第一，范氏圖中某區域的大小看似暗示機率，然而面積並不是機率——一條看來細小的縫可能承載巨大的機率，一團肥大的色塊可能幾乎為零，端看底層結果如何被加權。圖只顯示哪些結果屬於哪個事件；它本身並不告訴你任何事的可能性。第二，圖讓事件看起來像固定的色塊，但同一句中文，依你在第一篇裡把樣本空間定義得多細，可能對應到非常不同的集合。

「至少一個」對「一個都沒有」的對偶性，正是笛摩根在實務中發揮價值之處。假設有三個看似獨立的開關，每個可開，而你想要事件「至少有一個開著」。直接算這個得處理各種重疊；但它的補集是乾淨的單一事件「三個全關」。於是你算容易的補集、再用 1 去減——這就是補集法則，P(A) = 1 - P(A^c)。我們還沒證明這條法則（下一篇的公理會證），但你已能看出它為何將是整門學科最常用的捷徑：把「至少一個」改寫成「一減去都沒有」。

計算「或」：排容原理

這正是組合事件所要引向的問題。若 A 與 B 重疊，A ∪ B 有多大？一個誘人卻錯誤的做法，是把 A 與 B 的大小直接相加——這會重複計算同時落在兩者裡的結果，也就是 A ∩ B。修正這項重複計數，就得到排容原理：聯集的大小等於各自大小之和、減去重疊的大小。用機率的語言寫，就是 P(A 或 B) = P(A) + P(B) - P(A 且 B)。先把各部分加起來，再減掉你算了兩次的那部分。

1. 先挑出事件。一顆骰子：A =「偶數」= {2, 4, 6}，B =「至少 4」= {4, 5, 6}。我們要 P(A 或 B)，骰子公正，每面機率 1/6。
2. 把各部分相加。P(A) = 3/6、P(B) = 3/6，所以天真地相加得 6/6 = 1——這已經可疑，因為 A ∪ B 並未蓋住面 1 或 3。
3. 找出重疊。A ∩ B = {4, 6}，所以 P(A 且 B) = 2/6。
4. 減去重複計數。P(A 或 B) = 3/6 + 3/6 - 2/6 = 4/6 = 2/3，與直接數 A ∪ B = {2, 4, 5, 6} 相符。

當 A 與 B 互斥時，重疊項消失，P(A 且 B) = 0，公式便縮成簡單的相加 P(A 或 B) = P(A) + P(B)。這個特例正是公理將拿來當作起點假設的可加性。對三個以上的事件，這個模式會以正負交替延續下去——加上單個、減去成對、再加回三個一組——但上面的兩事件版本才是你會不斷用到的。這一切還算不上正式意義下的「機率論」；它是事件代數，是下一篇的公理將要灌入數字的那套文法。