頂點，就是結帳的地方
在上一篇導覽裡，你學會了把一張[[feynman-diagram|費曼圖]]當作一套由三種零件組成的字母表來讀：外腿（你起始與終結時手裡那些真實的粒子）、傳播子（內部的線條，代表著穿行其間的虛粒子），還有頂點（線條相交的那些圓點）。現在我們要把這幅圖畫變成一個*大小*——一個數字，表示這個過程實際上多頻繁地發生。下面這條規則會讓其餘一切各就各位：線是免費的，只有[[vertices-propagators-external-legs|頂點]]才要花錢。每一個圓點都是一處粒子相互作用的地點，而每一次相互作用都貼著一個價。
那個價，就是[[coupling-at-a-vertex|頂點處的耦合]]——一個數字，表示在那裡相遇的粒子彼此之間實際上交談得有多麼強烈。在量子電動力學裡，頂點永遠是同一個電子-光子的圓點，它的價就是 QED 耦合。關鍵之處在於，這是強度進入計算的*唯一*地方。兩個粒子作為線條漂移而過，或是一個虛粒子通過一條傳播子擺渡著力，它們各自貢獻著自己的因子，卻從不決定這次相互作用有多*可能*發生。可能性完完全全棲居在那些圓點上。所以，要掂量一張圖有多大，你直接去找它的頂點，數一數它們的個數。
數一數耦合的冪次
現在來記帳。每一個頂點都向振幅貢獻一個[[coupling-constant|耦合常數]]因子。在量子電動力學裡，這個每頂點的因子就是電子的電荷 e，而物理學家更喜歡把它打包成 α，也就是精細結構常數——α 正比於 e 的平方，算出來約為 1/137。算術很簡單：一張帶兩個頂點的圖，其振幅裡帶著 e 的平方，也就是 α 的一次方；一張帶四個頂點的圖，振幅裡帶著 e 的四次方，也就是 α 的平方。再加兩個頂點，你就要再付一個 α 因子。這就是全部的標度律。
QED vertex factor ~ e (and alpha ~ e^2 ~ 1/137 ~ 0.0073) 2 vertices : amplitude ~ e^2 probability ~ e^4 ~ alpha^2 4 vertices : amplitude ~ e^4 probability ~ e^8 ~ alpha^4 each EXTRA pair of vertices => one more factor of alpha ~ 1/137 so the 4-vertex correction is ~137x smaller than the 2-vertex one
來看一個具體的例子：兩個電子彼此散射。最簡單的圖是每個電子坐在一個頂點上，朝對方拋出一個虛光子——兩個頂點，於是振幅按 α 標度、機率按 α 的平方標度。你也可以畫一張更熱鬧的圖，讓它們交換*兩個*光子：現在是四個頂點了，這份貢獻便要再小一個 α 因子，大約要微弱一百三十七倍。這張雙光子交換的圖既沒有錯、也不被禁止；它不過是疊在那張占主導地位的單光子圖景之上的一個小修正罷了。
樹圖 vs 圈圖
圖分成兩大家族，而它們之間的區別純粹是拓撲上的——取決於內部的線條是否圍成一個閉合的圈。一張樹圖沒有閉合的圈：隨便追蹤哪一條內線，它總會通向某處，就像一棵樹的枝丫，永遠不會繞回來。兩個電子單光子交換的那幅圖景就是一棵樹。與之相對，一張[[tree-level-vs-loop-diagrams|圈圖]]則至少含有一條由內線圍成的閉合迴路——一個虛粒子（或一對虛粒子）短暫地現身、繞行一圈，再重新接上。你上面畫的那個雙光子方框，就是電子散射中最簡單的一個圈。
為什麼圈如此要緊？兩個理由疊加在一起。第一，要閉合一個圈，就需要額外的頂點，所以一張圈圖所攜帶的耦合冪次，總是比它所修正的那棵樹要多——它自動地被 α 壓低，正如數頂點所預言的那樣。第二，也更微妙：在一個圈內部，虛粒子的能量與動量並不由外部粒子所固定。任何值都允許在圈裡流動，所以計算必須*對所有可能性求和*——一個積分，遍歷這個圈所能攜帶的每一個動量。樹只是把幾個因子相乘；圈卻逼著你去做積分。
階數，以及為什麼寥寥幾張圖就夠了
下面這套策略把一切都串了起來。要精確地預言一個過程，你本得把*無窮多*張圖加起來——樹圖、然後一圈、再兩圈，如此沒完沒了。這聽上去毫無指望。但只要按圖所攜帶的耦合冪次把它們歸類整理，一樁記帳上的奇蹟便出現了。最低的冪次是領頭階（樹圖）；再高一階是次領頭階（一圈）；如此類推。這道階梯就是[[perturbation-theory-order|微擾論的階數]]，而每一級都比它下面那一級小一個耦合的因子。
由於 α 約為 1/137，每往上走一階，都比上一階大約小一百倍。於是那個無窮的總和表現得就像 1 + 1/137 + 1/137 的平方 + ……，收斂得飛快：領頭項就已經把你帶到約百分之一的範圍內，第一項修正把它磨利到百分之零點幾，而你只要算到所需的精度就可以收手了。*這*就是為什麼寥寥幾張圖便足夠了。你並不是出於偷懶而無視其餘的圖——你手握一份定量的保證，確知你扔掉的那些圖，小到在你的目標精度上根本無關緊要。
還有一條更安靜的規則，在你開始數階數之前就已經替你修剪了清單：在一個頂點處，守恆律必須成立。電荷、能量-動量以及其他量子數，在每一個圓點上都必須配平，所以你隨手可能畫出的大多數圖，乾脆就是不可能的，從來不會被畫出來。守恆律禁掉了許多形狀，小耦合又壓低了倖存下來的那些，二者一夾擊，那個看似無窮的計算便坍縮成一份簡短而可控的清單——通常是一張或寥寥幾張圖，承載著實質上的全部答案。
當這套把戲失靈時：強相互作用
整套方案都擱在一個假設之上：耦合很小。把這個假設抽掉，它便垮台。強相互作用正是它垮台的地方。在日常的能量下，它的耦合不是 1/137，而是接近 1，於是那個級數 1 + 1 + 1 + …… 並不會縮小——每一階都和上一階一樣要緊，再添圖也無濟於事。這就是為什麼你沒法畫出幾張費曼圖來計算，比方說，三個夸克如何束縛成一個質子：根本沒有一張領頭圖，而那道微擾的階梯，也沒有一級最底下的台階可供你立足。
但接下來是個絕妙的轉折，一個你早已喬裝著見過的事實：耦合並不是一個固定的數。它是一個[[running-coupling|跑動的耦合]]——它的數值取決於相互作用的能量。強耦合在低能時很大（夸克在那裡被鎖死在強子內部），到了極高的能量卻會縮小，這種性質叫做漸近自由。所以即便是對強相互作用，在那些劇烈的、高能的碰撞中——耦合在那裡已經跑得很小——費曼圖與微擾論也運轉得*妙極了*。這套方法有它適用的疆域，由「相關的耦合在你所探查的能量上是否恰好很小」來劃定。
還有一道誠實的褶皺，而它是量子電動力學自己的。即便是那個溫文爾雅的電磁級數，也並不會永遠收斂下去；把它推到極其高的階數，它最終又會開始增長——這就是數學家們所說的漸近級數。在實踐中這從不咬人，因為這種失效要遠遠在任何人會去計算的那寥寥幾階之外才會發作。要帶著往下走的教訓，並不是說微擾論很脆弱，而是說它是一件*有適用範圍的工具*：在耦合很小處它出類拔萃，在耦合不小處它啞口無言，而且它始終對你身處哪一種區域誠實以告。