一條你早已能想像的弦
你已經在路線圖上把波動方程當成一個名字遇過了——那個雙曲型的原型 u_tt = c^2 u_xx，會傳訊號、會振動，且不平滑化。這篇要做的是誠實的活：從一幅物理圖像把它 建造 出來，讓它不再是口號，而成為你自己也可能推導得出來的東西。圖像是想像得到最簡單的那種：一條 振動的弦，像吉他或小提琴的弦那樣繃緊，被撥動然後放手。
設 u(x, t) 為弦的側向位移：在弦上水平位置 x、時間 t 處，弦相對於它平坦的靜止線往上移動了 u 這麼多。弦靜止時，處處 u = 0。撥它一下，u 就成了一個隨時鐘流逝而擺動、變化的形狀。我們全部的目標，就是找出這個 u(x, t) 必須服從的規則——一條把弦在空間中的彎曲 u_xx，與每一點在時間中上下的加速度 u_tt 關聯起來的關係。
對一小段套上牛頓第二定律
整個推導，是把單一個想法套用在一小薄片弦上。把 x 與 x + dx 之間那一小段切出來，問有哪些力作用在它身上。因為弦是柔軟的，唯一的力就是兩端沿著弦拉的 張力——右端，弦的其餘部分沿著當地斜率往前拉；左端則往後拉。關鍵在於，兩端指的方向 略有不同，因為弦是彎的，而那個小小的不對齊，正是整個側向推力的來源。這跟每一條由平衡律建出的方程背後的動量守恆記帳是同一回事——是你已經見過的 守恆律推導 的近親。
把這筆帳用文字記下來。對小斜率而言，右端張力的垂直（上下）分量，是張力 T 乘上那裡的斜率 u_x；左端則是 T 乘上稍後那一點的斜率。作用在這段上的 淨 向上力，就是這兩者之差——而 u_x 跨過一小段間隙 dx 的差，正是 u_x 的導數所量度的東西，也就是 T 乘以 u_xx 乘以 dx。同時，這一段有質量（密度乘以 dx），它的垂直加速度是 u_tt。牛頓第二定律——力等於質量乘以加速度——令這兩者相等。
net vertical force = mass x acceleration
( T u_x|right - T u_x|left ) ( rho dx ) u_tt
T u_xx dx = ( rho dx ) u_tt
divide by rho dx : u_tt = (T / rho) u_xx = c^2 u_xx ,
c = sqrt( T / rho )方程在告訴你什麼
把 u_tt = c^2 u_xx 當成一個句子來讀，它幾乎是顯然的。左邊 u_tt 是弦上一點上下加速得多快。右邊正比於 u_xx，也就是弦的 曲率。所以方程說的是：弦在一點彎得越急，那一點就被拉回得越用力。 弦凸起成一個鼓包之處（向下彎、u_xx 為負），加速度向下——像重力般的回復；它垂落成一個谷之處（u_xx 為正），則被甩向上。曲率就是回復力，而正是這一個回饋，讓弦鳴響起來。
注意有個東西幾乎免費地從代數裡掉了出來：常數 c = sqrt(T / rho)，也就是 波速。把弦繃得更緊（T 更大），c 就升高；用質量把它壓重（rho 更大），c 就降低。這正是為什麼吉他又細又緊的弦唱得又高又快，又粗又鬆的弦則低沉地隆隆作響——你是在物理上改變 T 與 rho、從而改變 c。關鍵是，c 帶有長度除以時間的單位：它是一個真正的 速度，下一篇將證明，那就是擾動沿弦行進的速率。
為什麼這是雙曲型的原型
波動方程不只是 一條 二階偏微分方程；它是 雙曲型 乾淨的代表。回想分類那一階：一條二階方程 A u_xx + 2B u_xt + C u_tt + ... 由判別式 B^2 - A C 來歸類。對 u_tt - c^2 u_xx = 0，我們有 A = -c^2、C = 1、B = 0，所以 B^2 - A C = c^2，是正的——而正號代表雙曲型。那個符號不是枝微末節；它是 兩條實的特徵方向 的代數指紋，訊號沿著那些線奔跑，下一篇會把它變成達朗貝爾公式。
這裡也住著與 熱方程 最深層、最誠實的對比。熱方程只有一個時間導數，是拋物型的；波動方程有兩個，是雙曲型的，而這多出來的一個時間導數改變了一切。熱瞬間把資料抹平，並以 無限速度 蔓延；波動方程恰恰相反——它有一個 有限 的傳播速度，正好是 c，而且它 不 平滑化。弦初始形狀裡一個尖銳的角，在它行進時依然是一個尖銳的角。別把「導數會把東西抹平」的直覺帶過來：那是熱方程的習慣，而波會打破它。
兩個時間導數，兩份資料
數時間導數也告訴你，在方程有唯一答案之前你必須交給它什麼。波動方程對 t 是二階的——就像一個牛頓粒子，需要初始位置和初始速度兩者。所以一條振動的弦在 t = 0 需要兩份資料：初始位移 u(x, 0)，也就是你把它撥成的形狀，以及初始速度 u_t(x, 0)，也就是放手那一刻每一點移動得多快。撥一下再放手，給出非零的形狀但零的初速度；用槌子敲它（像鋼琴那樣）則給出大致為零的形狀、卻有一記非零的速度衝擊。
再一次與熱方程做誠實的對照：熱方程對時間是一階的，只需要 一個 初始條件，也就是起始溫度，根本不需要初始「速度」。時間導數的個數，就是起始條件的個數——一條值得帶著到處用的規則。而和偏微分方程一向的情形一樣，這兩個函數 u(x, 0) 與 u_t(x, 0) 是任意的 函數，一整片連續的自由，而緊接著下一篇的 達朗貝爾公式 將把它收進一個俐落的行進波答案裡。