用正交性算出係數

上一篇導讀留下的問題

兩篇之前，分離變數法交給你一道正弦拱的階梯 sin(n pi x / L)，並告訴你真正的解是它們的疊加。上一篇把那些拱分門別類為 正弦級數 與餘弦級數，依邊界是把兩端固定還是隔熱來匹配，也配上各自相應的奇延拓或偶延拓。所以形狀已經定了。還缺的是每個形狀前面的那個數。我們想把一個給定的初始輪廓 f(x) 寫成一個和 f(x) = b_1 sin(pi x / L) + b_2 sin(2 pi x / L) + ...，而現在全部的工作，就是把那些振幅 b_n 釘死。

乍看這似乎沒救。未知數 b_n 有無窮多個，全都糾纏在同一條方程裡。若你拿普通向量這麼做，你得架起一個巨大的線性系統慢慢磨。但正弦級數帶著一份普通糾纏的和所沒有的禮物：那些積木在一個精確的積分意義下彼此互相垂直。單憑這個事實，你就能伸手把任何一個係數單獨抽出來，而不驚動其餘。匹配初始條件 於是不再是一面聯立方程的牆，而化成一連串各自獨立、一行就寫完的積分——這就是本篇的全部故事。

垂直的函數，與垂直的向量是同一個想法

回想你怎麼從一個普通向量裡挑出單一分量。要知道 v 沿某個單位軸 e_k 有多少分量，你取點積 v . e_k；其餘每一軸都毫無貢獻，因為這些軸彼此垂直。巧妙的一躍，是把區間 [0, L] 上的函數看成具有無窮多分量的向量，並把點積換成一道積分。兩個函數 f 與 g 的內積，定義為 f(x) g(x) 在 [0, L] 上的積分。當這道積分為零，這兩個函數就稱為正交——它們在完全相同的意義下垂直，只是把「逐點求和」換成了積分而已。

現在是讓一切運轉起來的小小奇蹟。正弦模態彼此正交：當 m 與 n 不同時，sin(m pi x / L) sin(n pi x / L) 在 [0, L] 上的積分為零；當 m 與 n 相同時，它等於 L/2。這就是三角函數的正交性，而它不是僥倖——它由一個積化和差的恆等式掉出來，那恆等式把 sin 乘 sin 化成若干餘弦，而這些餘弦在整數個半週期上積分恰為零。幾何上，不同的正弦拱擺動的方式使得：在其中一個為正之處，另一個花同樣多的時間去抵銷它；它們的重疊平均下來等於零。

投影的把戲：抽出單一係數

這就是搞定一切的那一步。從 f(x) = 各個 b_k sin(k pi x / L) 之和出發，這正是我們想對 b 解出的等式。為了孤立第 m 個係數，把等式兩邊都乘上第 m 個模態 sin(m pi x / L)，再在 [0, L] 上積分。右邊，積分是線性的，於是它鑽進求和內，逐項打到 b_k 乘上 sin(k pi x / L) sin(m pi x / L) 的積分。由正交性，這些積分每一個都是零——唯獨 k 等於 m 的那一項例外，它貢獻 b_m 乘 L/2。整個無窮和就此塌縮成唯一的倖存者。

Want:    f(x) = b_1 sin(pi x/L) + b_2 sin(2 pi x/L) + b_3 sin(3 pi x/L) + ...

Step:    multiply BOTH sides by sin(m pi x/L), then integrate over [0, L]

  integral[ f(x) sin(m pi x/L) dx ]
        = sum over k of  b_k * integral[ sin(k pi x/L) sin(m pi x/L) dx ]

  orthogonality:   integral[ sin(k..) sin(m..) ] = 0   if k != m
                                                 = L/2 if k == m

  so the whole sum collapses to the k = m term:

  integral[ f(x) sin(m pi x/L) dx ] = b_m * (L/2)

  =>   b_m = (2/L) * integral_0^L  f(x) sin(m pi x/L) dx

乘上某一個模態、積分，正交性就敲掉除了一項以外的所有項——留下每個係數的封閉公式。

解出那位倖存者，就得到著名的 傅立葉係數公式：b_m =（2/L）乘上 f(x) sin(m pi x / L) 在 [0, L] 上的積分。把它讀作一個投影。那道積分量度輪廓 f 與第 m 道純拱重疊得多強，而 2/L 不過是用該模態自身的長度 L/2 來重新歸一化——就像你用基底向量長度的平方去除，以取得真正的分量一樣。每個係數都用同一套配方算出，彼此互不知情，恰如各自獨立的向量分量。

一個小小的算例

取一段在 [0, pi] 上的棒（故 L = pi），初始為常值輪廓 f(x) = 1，兩端都夾到零。寫下正弦級數的係數：b_m =（2/pi）乘上 1 . sin(m x) 從 0 到 pi 的積分。
做積分。sin(m x) 的反導數是 -cos(m x)/m，所以定積分是（1 - cos(m pi)）/m。由於 cos(m pi) 在 m 為偶數時是 +1、奇數時是 -1，括號內在偶數 m 時為 0、奇數 m 時為 2。
組裝起來。b_m =（2/pi）.（1 - cos(m pi)）/m，在偶數 m 時為 0、奇數 m 時為 4/(m pi)。偶數模態消失——這是你本可猜到的對稱性，因為平坦的輪廓關於中點對稱，而偶數編號的拱並不對稱。
讀出級數。f(x) = 1 被重建為（4/pi）[ sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + ... ]。三道老實的積分、沒有線性系統，你就拿到了熱或波演化將往前帶走的每一個模態的確切振幅。

為何它能釘住答案，又往哪裡推廣

誠實說清楚這些係數承諾了什麼、又沒承諾什麼。公式永遠能產出數字——無論級數是否真的收斂回 f，你都能把 f 對任一模態積分。正交性保證的是：若 f 真能用這些正弦展開，這些就是唯一行得通的權重；它本身並不證明重建出的和在每一點都等於 f。那個更強的主張叫收斂，而它取決於 f 有多乖。在均方意義下，對任何合理的輪廓，部分和總會逼近 f，且這些係數甚至在每個截斷處使平方誤差最小——但在跳躍處的逐點一致，是另一件更微妙、留給下一篇的事。

最深的回報是：這個投影把戲對正弦並不特殊。同一台機器能在任何一族彼此正交的函數上運轉，而一個分離出的邊值問題所拋出的特徵函數，保證構成這樣一族。這正是通往下一級的橋：圓盤上的餘弦、貝索函數，球面上的勒讓德多項式，全都遵守各自的正交性，也全都以同一套「乘上去再積分」的配方產出係數——一個 廣義傅立葉級數。統合的框架是 史特姆–劉維問題，它證明了一大類自伴算子總能交出一組完備的正交基底，有時是相對於一個落在積分裡的權重 r(x) 而帶權正交。把正弦這個情形學透，你便以微縮的形式，握住了對它們所有人通用的方法。