有限元素法

向方程提出一個不同的問題

本級前面幾篇導讀問的都是同一類問題：讓偏微分方程在格點上近似地成立。把每個導數換成一個樣板，要求 u_t = k u_xx 在每個交叉點上成立，然後往前推進。這在矩形上做得很漂亮，但真實問題往往生活在不規則的形狀上——渦輪葉片、海岸線、中間挖了個洞的區域——整齊的格網根本貼不上去。有限元素法之所以誕生，正是因為它向方程提出了一個全然不同的問題，而這個問題能優雅地隨任何形狀彎折。

取這整道階梯的模型橢圓問題——帕松方程 -Laplacian u = f 定義在某區域上，邊界上 u = 0。我們不再堅持方程逐點成立，而是把兩邊乘上一個任意的測試函數 v（它在邊界上也為零），再對整個區域積分。接著做一次分部積分，把一個導數從 u 身上移到 v 身上，而邊界項因 v = 0 而消失。存活下來的是：grad u 與 grad v 的內積之積分，等於 f 乘 v 的積分——而關鍵在於，這必須對每一個合格的 v 都成立。這就是弱形式：方程不再被要求在點上成立，而是對一整個函數空間做測試。

strong form:   -Laplacian u = f,   u = 0 on boundary

multiply by v, integrate, integrate by parts once:

weak form:     integral( grad u . grad v ) = integral( f v )
               must hold for EVERY test function v

  a(u, v)  =  L(v)          for all v
  \___/        \__/
  bilinear     linear

由強到弱：一次分部積分，把逐點方程換成一個對所有 v 做測試的恆等式。

為何弱形式才是該離散化的對象

這個改寫帶來兩份禮物。第一，弱形式對解的要求變少了：u 只出現一階導數，而非二階，於是 u 不再需要二次可微。它只需要有一個平方可積的一階導數——這恰好是空間 H^1_0的歸屬條件，也就是那些具有有限能量、且在邊界上為零的函數的自然居所。這正是你在弱形式讓帶有折角、帶有尖點的函數得以充當正當的解時，所遇見的同一種放寬。第二，左邊是一個雙線性形式 a(u,v)——對每一格分別是線性的——而右邊是一個線性泛函 L(v)。整個問題化為：在 H^1_0 中找出 u，使得 a(u,v) = L(v) 對所有 v 成立。

為什麼這樣的 u 存在，又為什麼唯一？這裡是理論一項靜默的勝利：拉克斯-米爾格拉姆定理保證了它，只要那個雙線性形式有界且強制（coercive）——意思是 a(v,v) 至少是 v 的能量的某個正倍數，於是這個形式不會在任何方向上塌陷。對帕松方程而言，a(v,v) 字面上就是 |grad v|^2 的積分，即狄利克雷能量，而強制性來自一條龐加萊不等式。這裡甚至有一個美麗的物理讀法：在所有具有正確邊界值的函數之中，真解正是使該能量最小的那一個——這就是狄利克雷原理，而弱形式不過是「它的一階變分為零」這句話。

帳篷函數：把空間變成有限維

弱問題依然活在無窮維的空間 H^1_0 之中——我們無法在電腦上搜遍它。那決定性的一步，即伽遼金法，是把那片浩瀚的空間換成一個小小的有限維子空間 V_h，由少數幾個簡單、被挑選好的函數張成，並只要求 a(u_h, v) = L(v) 對 V_h 中的 v 成立。從幾何看，你是在把真解投影到函數空間中一塊可掌控的薄板上；薄板愈小，答案愈粗糙，但 V_h 愈精細，u_h 就愈緊貼真值。

讓它成為有限元素法的，是 V_h 那個巧妙的基底選擇。把區域切成許多簡單的小片——一維中是區間，二維中是三角形——這張網格（mesh）能緊貼任何形狀，在解變化快的地方加密、在它慵懶的地方放粗。在這張網格上，每個節點放一個基底函數 phi_j：那是一個帽子函數（或稱帳篷函數），在節點 j 處等於 1，並線性地滑落到每個鄰近節點處的 0，於是每個 phi_j 只在觸及節點 j 的那幾個元素上非零。任何候選的 u_h 便是一個加權和，u_h = sum of c_j phi_j，而未知數就只是那些節點值 c_j——曲面在每個網格點上的高度。

組裝剛度矩陣

現在把伽遼金條件化成線性代數。只需對每個基底函數做測試即可，於是把 u_h = sum of c_j phi_j 代入 a(u_h, phi_i) = L(phi_i)，對每個節點 i 都做一次。因為 a 是雙線性的，那個和可以提出來，剩下 sum over j of a(phi_j, phi_i) c_j = L(phi_i)。把係數 a(phi_j, phi_i) 收進一個矩陣 K，其元素為 K_ij = grad phi_i 與 grad phi_j 內積的積分——這就是著名的剛度矩陣，其名源於結構力學的出身。再把右端收進一個向量 F，其中 F_i = f phi_i 的積分。連續的偏微分方程，就此化成線性系統 K c = F。

正是在這裡，帳篷的局部支撐帶來巨大的回報。K_ij 只有在 phi_i 與 phi_j 重疊時才非零——也就是只有當節點 i 與 j 共用一個元素時。於是在一維中 K 每一列只有三個非零元素，二維中也只有寥寥幾個：這個矩陣是稀疏的，絕大多數是零，而上一篇導讀中對付隱式格式的那些快速解法器，三兩下就能搞定它。更妙的是，對帕松問題 K 是對稱正定的——這直接繼承自那個強制且對稱的雙線性形式——這保證了系統恰有一個解，也讓最高效的解法器得以放手施展。

把區域劃成網格：切成元素（區間或三角形），在你預期解變化快的地方加密。
選定基底函數：每個內部節點配一個帽子函數 phi_j，在每個元素上皆線性，於自身節點取 1、於其餘節點取 0。
建立剛度矩陣 K，其 K_ij = grad phi_i . grad phi_j 的積分，逐元素計算——多數元素為零。
建立載荷向量 F，其 F_i = f phi_i 的積分，通常在每個元素上以一個小型數值積分公式求得。
求解稀疏線性系統 K c = F；係數 c 即節點值，而 u_h = sum of c_j phi_j 便是近似解。

它有多好？誤差估計

一個誠實的方法必須說出自己錯了多少。關於伽遼金解最重要的單一事實是Cea 引理：u_h 在能量範數下，至多差一個固定常數，就是子空間 V_h 所能提供的對真值 u 之最佳可能近似。換句話說，這方法並非隨便產出 V_h 中的某個答案——它產出的本質上就是 V_h 中離真值最近的那一點。這把整個誤差問題化約成一個純粹的逼近問題：在尺寸為 h 的網格上，分段線性的帳篷能把一個光滑函數逼近到多好？

對線性元素，逼近理論給出乾淨的答案：能量範數中的誤差（它掌控一階導數）以 C h 縮小，對網格尺寸是一階；而樸素 L^2 範數中的誤差（即 u_h - u 本身的大小）以 C h^2 縮小，是二階——那著名的多出來的一階威力，來自一個對偶論證。當你把網格間距減半，函數值的誤差大致降到四分之一。那個隱藏的常數 C 又一次藏著真解的高階導數，因此這估計只有在 u 夠光滑時才誠實；在凹角附近，u 僅僅屬於 H^1，收斂率便會真切地退化，而這正是自適應網格加密所追逐的徵兆——只在誤差指標亮起紅燈之處，傾倒進細小的元素。

退一步，留意這套記帳與有限差分的感受何其不同。沒有泰勒展開、沒有樣板、沒有逐點的截斷誤差；收斂性改為流自強制性（存在與穩定，經由拉克斯-米爾格拉姆定理）、最佳逼近性質（Cea），以及逼近理論（帳篷把光滑函數貼得多好）。這正是你在伽遼金法的圖像中、以及兩篇前的等價定理裡所見的同一組三位一體——相容、穩定、收斂——只是換上了能量與函數空間的語言，而非格網與步長。下一篇將離開橢圓的舒適區，直面最艱難的情形：會形成震波的守恆律，那裡換成有限體積法與熵條件登場。