熵是一個計數的對數
我們早先把熵當作衡量一個系統鋪得有多開的量。統計力學卻賦予它一個驚人地字面化的含義。數一數那些看起來同屬一個宏觀狀態的微觀狀態——也就是逐個分子寫滿的細節排列——的數目。取這個數目的對數。乘上玻爾茲曼常數。這就是熵，到此為止。這便是統計熵，而這道配方就刻在玻爾茲曼的墓碑上：S = k log W。這個詞全部的神祕感頓時融化：統計熵不過是把「這件事能以多少種方式發生？」整理乾淨後的一種說法。
偏偏是對數，為什麼？因為當你把兩個系統併到一起時，熵必須可以相加，可那些*計數*卻是相乘的。把兩顆骰子放到一起，組合起來的結果數是 6 乘 6 等於 36，而不是 6 加 6。對數正是那唯一能把相乘變成相加的運算：log（A 乘 B）等於 log A 加 log B。所以玻爾茲曼熵公式恰恰就是那套記帳法，它讓熵表現得像經典熱力學一向堅稱的那樣——一個可加的、廣延的量。
當計數無法降到一的時候
有時一種物質即便在最低溫下也無法把自己理成單一的排列，因為某些分子能以相同的能量指向不止一個方向，還沒來得及取得一致，就被凍住了。一氧化碳就是經典的例子：每一個小分子都可以頭朝前或尾朝前躺著，而在它結冰時，並沒有哪條能量上的理由去偏愛其一。晶體便把一團雜亂鎖定下來，留下一個大於一的剩餘計數——於是也留下一份一直挺到最底端的剩餘熵。這個頑固的餘項就叫殘餘熵，它鮮活地提醒我們：熵確實關乎對排列的計數，而不單單關乎溫度。
能量均分定理：人人分到同樣一份
現在來看第二條偉大的捷徑。一個分子可以用好幾種互不相同的方式來儲存能量：左右、上下、前後地平移滑動；繞各個軸自轉；等等。每一種獨立的儲能方式，叫作一個自由度。能量均分定理給出一個極其「民主」的論斷：在尋常溫度下，每一個這樣的自由度平均都持有完全相同的一份能量——一份等於熱能 kT一半的份額。沒有哪種運動方式被偏愛；能量被均勻地分攤出去，就像一張被切成相等幾塊的派。
一旦你接受了這一點，你幾乎掰著手指就能把一種物質的能量數出來。一個惰性氣體的單原子只能朝三個方向滑動，於是它持有三份 kT 的半份額，再無其他。這立刻就預言了：當你給它加溫時，它的內能上升多少——從而它的熱容是多少。能量均分定理把「這種氣體吸進多少熱？」變成了一樁*數一數它能怎樣運動*的事。
公平分配在哪裡失靈（以及為何這反倒美妙）
均分是一條慷慨的規則，但它附帶著一行小字：一個自由度只有在它*容易被喚醒*時，才會收下它那半份 kT。如果某種運動方式的第一級台階被設得遠高於 kT——分子裡僵硬的鍵振動在室溫下往往就是如此——那就連一級都爬不動，因為熱能的「現金」不夠，這一模式便保持凍結、毫無貢獻。所以公平分配的規則只適用於那些被開啟的模式；僵硬的、高台階的模式則一直沉睡，直到你把溫度加得足夠高才把它們喚醒。